Допускаемые напряжения. Условие прочности.
Предел
прочности и предел текучести, определенные опытным путем являются
среднестатистическими величинами, т.е. имеют отклонения в большую или
меньшую сторону, поэтому максимальные напряжения при расчетах на
прочность сравнивают не с пределом текучести и прочности, а с
напряжениями несколько меньшими, которые называются допускаемыми
напряжениями.
Пластичные материалы одинаково работают на растяжение и сжатие. Опасным напряжением для них является предел текучести.
Допускаемое напряжение обозначается [σ]:
где n- коэффициент запаса прочности; n>1.Хрупкие металлы хуже работают на растяжение, а лучше на сжатие. Поэтому опасное напряжение для них предел прочности σвр.Допускаемые напряжения для хрупких материалов определяются по формулам: где n- коэффициент запаса прочности; n>1.Хрупкие металлы хуже работают на растяжение, а лучше на сжатие. Поэтому опасное напряжение для них предел прочности σвр.Допускаемые напряжения для хрупких материалов определяются по формулам:
где n- коэффициент запаса прочности; n>1.
Хрупкие металлы хуже работают на растяжение, а лучше на сжатие. Поэтому опасное напряжение для них предел прочности σвр.
Допускаемые напряжения для хрупких материалов определяются по формулам:
σвр - предел прочности при растяжении;
σвс - предел прочности при сжатии;
nр, nс - коэффициенты запаса по пределу прочности.
Условие прочности при осевом растяжении (сжатии) для пластичных материалов:
Условия прочности при осевом растяжении (сжатии) для хрупких материалов:
Nmax- максимальная продольная сила, определяется по эпюре; А - площадь поперечного сечения бруса.
Существует три типа задач расчета на прочность:
I тип задач- проверочный расчет или проверка напряжений. Производится, когда размеры конструкции уже известны и назначены и необходимо осуществить только проверку на прочность. В таком случае пользуются уравнениями (4.11) или (4.12).
II тип задач - проектировочный расчет. Производится, когда конструкция находится на стадии проектирования и некоторые характерные размеры должны быть назначены непосредственно из условия прочности.
Для пластичных материалов:
Для хрупких материалов:
Где А- площадь поперечного сечения бруса. Из двух полученных значений площади выбираем наибольшее.
III тип задач - определение допускаемой нагрузки [N]:
для пластичных материалов:
для хрупких материалов:
Из двух значений допускаемой нагрузки выбираем минимальное.
Предельным напряжением считают напряжение, при котором в материале возникает опасное состояние (разрушение или опасная деформация).
Для пластичных материалов предельным напряжением считают предел текучести, т.к. возникающие пластические деформации не исчезают после снятия нагрузки:
Для хрупких материалов, где пластические деформации отсутствуют, а разрушение возникает по хрупкому типу (шейки не образуется), за предельное напряжение принимают предел прочности:
Для пластично-хрупких материалов предельным напряжением считают напряжение, соответствующее максимальной деформации 0,2% (сто,2):
Допускаемое напряжение - максимальное напряжение, при котором материал должен нормально работать.
Допускаемые напряжения получают по предельным с учетом запаса прочности:
где [σ] - допускаемое напряжение; s - коэффициент запаса прочности; [s] - допускаемый коэффициент запаса прочности.
Примечание. В квадратных скобках принято обозначать допускаемое значение величины.
Допускаемый коэффициент запаса прочности зависит от качества материала, условий работы детали, назначения детали, точности обработки и расчета и т. д.
Он может колебаться от 1,25 для простых деталей до 12,5 для сложных деталей, работающих при переменных нагрузках в условиях ударов и вибраций.
Особенности поведения материалов при испытаниях на сжатие:
1. Пластичные материалы практически одинаково работают при растяжении и сжатии. Механические характеристики при растяжении и сжатии одинаковы.
2. Хрупкие материалы обычно обладают большей прочностью при сжатии, чем при растяжении: σ вр < σ вс.
Если допускаемое напряжение при растяжении и сжатии различно, их обозначают [σ р ] (растяжение), [σ с ] (сжатие).
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии
Расчеты на прочность ведутся по условиям прочности - неравенствам, выполнение которых гарантирует прочность детали при данных условиях.
Для обеспечения прочности расчетное напряжение не должно превышать допускаемого напряжения:
Расчетное напряжение а зависит от нагрузки и размеров поперечного сечения, допускаемое только от материала детали и условий работы.
Существуют три вида расчета на прочность.
1. Проектировочный расчет - задана расчетная схема и нагрузки; материал или размеры детали подбираются:
Определение размеров поперечного сечения:
Подбор материала
по величине σ пред можно подобрать марку материала.
2. Проверочный расчет - известны нагрузки, материал, размеры детали; необходимо проверить, обеспечена ли прочность.
Проверяется неравенство
3. Определение нагрузочной способности (максимальной нагрузки):
Примеры решения задач
Прямой брус растянут силой 150 кН (рис. 22.6), материал - сталь σ т = 570 МПа, σ в = 720 МПа, запас прочности [s] = 1,5. Определить размеры поперечного сечения бруса.
Решение
1. Условие прочности:
2. Потребная площадь поперечного сечения определяется соотношением
3. Допускаемое напряжение для материала рассчитывается из заданных механических характеристик. Наличие предела текучести означает, что материал - пластичный.
4. Определяем величину потребной площади поперечного сечения бруса и подбираем размеры для двух случаев.
Сечение - круг, определяем диаметр.
Полученную величину округляем в большую сторону d = 25 мм, А = 4,91 см 2 .
Сечение - равнополочный уголок № 5 по ГОСТ 8509-86.
Ближайшая площадь поперечного сечения уголка - А = 4,29 см 2 (d = 5 мм). 4,91 > 4,29 (Приложение 1).
Контрольные вопросы и задания
1. Какое явление называют текучестью?
2. Что такое «шейка», в какой точке диаграммы растяжения она образуется?
3. Почему полученные при испытаниях механические характеристики носят условный характер?
4. Перечислите характеристики прочности.
5. Перечислите характеристики пластичности.
6. В чем разница между диаграммой растяжения, вычерченной автоматически, и приведенной диаграммой растяжения?
7. Какая из механических характеристик выбирается в качестве предельного напряжения для пластичных и хрупких материалов?
8. В чем различие между предельным и допускаемым напряжениями?
9. Запишите условие прочности при растяжении и сжатии. Отличаются ли условия прочности при расчете на растяжение и расчете на сжатие?
Ответьте на вопросы тестового задания.
Позволяют определить предельные напряжения (), при которых материал образца непосредственно разрушается или в нем возникают большие пластические деформации.
Предельное напряжение в расчетах на прочность
В качестве предельного напряжения в расчетах на прочность принимается:
предел текучести для пластичного материала (считается, что разрушение пластичного материала начинается при появлении в нем заметных пластических деформаций)
,
предел прочности для хрупкого материала, значение которого при различно:
Для обеспечения реальной детали необходимо так выбрать ее размеры и материал, чтобы возникающее в некоторой ее точке при эксплуатации наибольшее было меньше предельного:
Однако даже если наибольшее расчетное напряжение в детали будет близко к предельному напряжению, гарантировать ее прочность еще нельзя.
Действующие на деталь, не могут быть установлены достаточно точно,
расчетные напряжения в детали могут быть вычислены иногда лишь приближенно,
возможны отклонения действительных от расчетных характеристик.
Деталь должна быть спроектирована с некоторым расчетным коэффициентом запаса прочности :
.
Ясно, что чем больше n, тем прочнее деталь. Однако очень большой коэффициент запаса прочности приводит к перерасходу материала, и это делает деталь тяжелой и неэкономичной.
В зависимости от назначения конструкции устанавливается требуемый коэффициент запаса прочности .
Условие прочности : прочность детали считается обеспеченной, если . Используя выражение , перепишем условие прочности в виде:
Отсюда можно получить и другую форму записи условия прочности :
Отношение, стоящее в правой части последнего неравенства, называют допускаемым напряжением :
Если предельные и, следовательно, допускаемые напряжения при растяжении и сжатии различны, их обозначают и . Пользуясь понятием допускаемого напряжения , можно условие прочности сформулировать следующим образом: прочность детали обеспечена, если возникающее в ней наибольшее напряжение не превышает допускаемого напряжения .
Для определения допускаемых напряжений в машиностроении применяют следующие основные методы.
1. Дифференцированный запас прочности находят как произведение ряда частных коэффициентов, учитывающих надежность материала, степень ответственности детали, точность расчетных формул и действующие силы и другие факторы, определяющие условия работы деталей.
2. Табличный – допускаемые напряжения принимают по нормам, систематизированным в виде таблиц
(табл. 1 – 7). Этот метод менее точен, но наиболее прост и удобен для практического пользования при проектировочных и проверочных прочностных расчетах.
В работе конструкторских бюро и при расчетах деталей машин применяются как дифференцированный, так и. табличный методы, а также их комбинация. В табл. 4 – 6 приведены допускаемые напряжения для нетиповых литых деталей, на которые не разработаны специальные методы расчета и соответствующие им допускаемые напряжения. Типовые детали (например, зубчатые и червячные колеса, шкивы) следует рассчитывать по методикам, приводимым в соответствующем разделе справочника или специальной литературе.
Приведенные допускаемые напряжения предназначены для приближенных расчетов только на основные нагрузки. Для более точных расчетов с учетом дополнительных нагрузок (например, динамических) табличные значения следует увеличивать на 20 – 30 %.
Допускаемые напряжения даны без учета концентрации напряжений и размеров детали, вычислены для стальных гладких полированных образцов диаметром 6-12 мм и для необработанных круглых чугунных отливок диаметром 30 мм. При определении наибольших напряжений в рассчитываемой детали нужно номинальные напряжения σ ном и τ ном умножать на коэффициент концентрации k σ или k τ :
1. Допускаемые напряжения*
для углеродистых сталей обыкновенного качества в горячекатаном состоянии
2. Механические свойства и допускаемые напряжения
углеродистых качественных конструкционных сталей
3. Механические свойства и допускаемые напряжения
легированных конструкционных сталей
4. Механические свойства и допускаемые напряжения
для отливок из углеродистых и легированных сталей
5. Механические свойства и допускаемые напряжения
для отливок из серого чугуна
6. Механические свойства и допускаемые напряжения
для отливок из ковкого чугуна
Для пластичных (незакаленных) сталей при статических напряжениях (I вид нагрузки) коэффициент концентрации не учитывают. Для однородных сталей (σ в > 1300 МПа, а также в случае работы их при низких температурах) коэффициент концентрации, при наличии концентрации напряжения, вводят в расчет и при нагрузках I вида (k > 1). Для пластичных сталей при действии переменных нагрузок и при наличии концентрации напряжений эти напряжения необходимо учитывать.
Для чугунов в большинстве случаев коэффициент концентрации напряжений приближенно принимают равным единице при всех видах нагрузок (I – III). При расчетах на прочность для учета размеров детали приведенные табличные допускаемые напряжения для литых деталей следует умножать на коэффициент масштабного фактора, равный 1,4 … 5.
Приближенные эмпирические зависимости пределов выносливости для случаев нагружения с симметричным циклом:
для углеродистых сталей:
– при изгибе, σ -1 =(0,40÷0,46)σ в
;
σ -1р =(0,65÷0,75)σ -1
;
– при кручении, τ -1 =(0,55÷0,65)σ -1
;
для легированных сталей:
– при изгибе, σ -1 =(0,45÷0,55)σ в
;
– при растяжении или сжатии, σ -1р =(0,70÷0,90)σ -1
;
– при кручении, τ -1 =(0,50÷0,65)σ -1
;
для стального литья:
– при изгибе, σ -1 =(0,35÷0,45)σ в
;
– при растяжении или сжатии, σ -1р =(0,65÷0,75)σ -1
;
– при кручении, τ -1 =(0,55÷0,65)σ -1
.
Механические свойства и допускаемые напряжения антифрикционного чугуна:
– предел прочности при изгибе 250 – 300 МПа,
– допускаемые напряжения при изгибе: 95 МПа для I; 70 МПа – II: 45 МПа – III, где I. II, III – обозначения видов нагрузки, см. табл. 1.
Ориентировочные допускаемые напряжения для цветных металлов на растяжение и сжатие. МПа:
– 30…110 – для меди;
– 60…130 – латуни;
– 50…110 – бронзы;
– 25…70 – алюминия;
– 70…140 – дюралюминия.
Расчёт на прочность и жёсткость осуществляется двумя методами: методом допускаемых напряжений, деформаций и методом допускаемых нагрузок.
Напряжения , при которых образец из данного материала разрушается или при которых развиваются значительные пластические деформации, называются предельными . Эти напряжения зависят от свойств материала и вида деформации.
Напряжение , величина которого регламентируется техническими условиями, называется допускаемым .
Допускаемое напряжение – это наибольшее напряжение, при котором обеспечивается требуемая прочность, жёсткость и долговечность элемента конструкции в заданных условиях его эксплуатации.
Допускаемое напряжение составляет некоторую долю от предельного напряжения:
где – нормативный коэффициент запаса , число, показывающее, во сколько раз допускаемое напряжение меньше предельного.
Для пластичных материалов допускаемое напряжение выбирают так, чтобы при любых неточностях расчёта или непредвиденных условиях эксплуатации в материале не возникло остаточных деформаций, т. е. (предел текучести):
где – коэффициент запаса прочности по отношению к .
Для хрупких материалов допускаемые напряжения назначаются из условия, что материал не разрушится, т. е (предел прочности):
где – коэффициент запаса прочности по отношению к .
В машиностроении (при статическом нагружении) коэффициенты запаса прочности принимают: для пластичных материалов =1,4 – 1,8 ; для хрупких – =2,5 – 3,0 .
Расчёт на прочность по допускаемым напряжениям основан на том, что наибольшее расчётное напряжение в опасном сечении стержневой конструкции не превосходит допускаемого значения (меньше – не более 10 %, больше – не более 5 %) :
Оценка жёсткости стержневой конструкции проводится на основе проверки условия жёсткости при растяжении:
Величина допускаемой абсолютной деформации [∆l] назначается отдельно для каждой конструкции.
Метод допускаемых нагрузок заключается в том, что внутренние силы, возникающие в наиболее опасном сечении конструкции в процессе эксплуатации, не должны превышать допускаемых значений нагрузок:
, (2.23)
где - разрушающая нагрузка, полученная в результате расчётов или экспериментов с учётом опыта изготовления и эксплуатации;
– коэффициент запаса прочности.
В дальнейшем будем использовать метод допускаемых напряжений и деформаций.
2.6. Проверочный и проектировочный расчёты
на прочность и жёсткость
Условие прочности (2.21) даёт возможность проводить три вида расчетов:
– проверочный – по известным размерам и материалу стержневого элемента (заданы площадь сечения А и [σ] ) проверить, в состоянии ли он выдержать заданную нагрузку (N ):
; (2.24)
– проектировочный – по известным нагрузкам (N – задано) и материалу элемента, т. е. по известному [σ], подобрать необходимые размеры поперечного сечения, обеспечивающего его безопасную работу:
– определение допускаемой внешней нагрузки – по известным размерам (А – задано) и материалу элемента конструкции, т. е. по известному [σ], найти допускаемую величину внешней нагрузки:
Оценка жёсткости стержневой конструкции проводится на основе проверки условия жёсткости (2.22) и формулы (2.10) при растяжении:
. (2.27)
Величина допускаемой абсолютной деформации [∆l ] назначается отдельно для каждой конструкции.
Аналогично расчётам по условию прочности условие жёсткости также предполагает три вида расчётов:
– проверка жёсткости данного элемента конструкции, т. е. проверка выполнения условия (2.22);
– расчёт проектируемого стержня , т. е. подбор его поперечного сечения:
– установка работоспособности данного стержня, т. е. определение допустимой нагрузки:
. (2.29)
Прочностной анализ любой конструкции содержит следующие основные этапы:
1. Определение всех внешних сил и сил реакций опор.
2. Построение графиков (эпюр) силовых факторов, действующих в поперечных сечениях по длине стержня.
3. Построение графиков (эпюр) напряжений вдоль оси конструкции, нахождение максимума напряжений. Проверка условий прочности в местах максимальных значений напряжений.
4. Построение графика (эпюры) деформации стержневой конструкции, нахождение максимумов деформации. Проверка в сечениях условий жёсткости.
Пример 2.1 . Для стального стержня, изображённого на рис. 9а , определить во всех поперечных сечениях продольную силу N и напряжение σ . Определить также вертикальные перемещения δ для всех поперечных сечений стержня. Результаты изобразить графически, построив эпюры N, σ и δ . Известно: F 1 = 10 кН; F 2 = 40 кН; А 1 = 1 см 2 ; А 2 = 2 см 2 ; l 1 = 2 м; l 2 = 1 м.
Решение. Для определения N , используя метод РОЗУ, мысленно разрезаем стержень по сечениям I−I и II−II . Из условия равновесия части стержня ниже сечения I−I (рис. 9.б) получим (растяжение). Из условия равновесия стержня ниже сечения II−II (рис. 9в) получим
откуда (сжатие). Выбрав масштаб, строим эпюру продольных сил (рис. 9г ). При этом растягивающую силу считаем положительной, сжимающую − отрицательной.
Напряжения равны: в сечениях нижней части стержня (рис. 9б )
(растяжение);
в сечениях верхней части стержня
(сжатие).
В выбранном масштабе строим эпюру напряжений (рис. 9д ).
Для построения эпюры δ определяем перемещения характерных сечений В−В и С−С (перемещение сечения А−А равно нулю).
Сечение В−В будет перемещаться вверх, поскольку верхняя часть сжимается:
Перемещение сечения, вызванное растяжением, считается положительным, вызванное сжатием – отрицательным.
Перемещение сечения С−С является алгебраической суммой перемещений В−В (δ В ) и удлинения части стержня длиной l 1:
В определённом масштабе откладываем значения и , соединяем полученные точки прямыми линиями, так как при действии сосредоточенных внешних сил перемещения линейно зависят от абсцисс сечений стержня, и получаем график (эпюру) перемещений (рис. 9е ). Из эпюры видно, что некоторое сечение D–D не перемещается. Сечения, расположенные выше сечения D–D , перемещаются вверх (стержень сжимается); сечения, расположенные ниже, перемещаются вниз (стержень растягивается).
Вопросы для самоконтроля
1. Как вычисляются значения продольной силы в поперечных сечениях стержня?
2. Что представляет собой эпюра продольных сил и как она строится?
3. Как распределены нормальные напряжения в поперечных сечениях центрально-растянутого (сжатого) стержня и чему они равны?
4. Как строится эпюра нормальных напряжений при растяжении (сжатии)?
5. Что называется абсолютной и относительной продольной деформацией? Их размерности?
6. Что называется жёсткостью поперечного сечения при растяжении (сжатии)?
8. Как формулируется закон Гука?
9. Абсолютная и относительная поперечные деформации стержня. Коэффициент Пуассона.
10. Что называется допускаемым напряжением? Как оно выбирается для пластичных и хрупких материалов?
11. Что называется коэффициентом запаса прочности и от каких основных факторов зависит его величина?
12. Назовите механические характеристики прочности и пластичности конструкционных материалов.