Какие силы дают проекцию на ось. Проекции силы на ось и плоскость

Теоретический материал

Связь – это тело, препятствующее перемещению другого тела под действием силы.

Реакция связи – сила, возникающая внутри самой связи. Реакция всегда противоположна тому направлению, по которому связь препятствует движению тела. Все тела могут быть свободными и несвободными. Свободное тело не имеет связи. Любое несвободное тело можно представить свободным, если действующие на него связи заменить реакциями.

Виды связей:

а) Гладкая поверхность или плоскость , то есть поверхность не имеющая трения. Реакция этой связи всегда направлена перпендикулярно точке соприкосновения. R – реакция связи

б) Гладкая опора Реакции этой связи направлены перпендикулярно к точке соприкосновения. (Реакция – сила внутри конструкции). Ее величина зависит от материала, размера и внешней силы.

в) Гибкая связь – связь, работающая только на растяжение, которая осуществляется тросом, канатом, цепью. Реакция гибкой связи направлена по самой связи к точке закрепления, то есть противоположно направлению силы.

г) Жесткие стержни . Осуществляется различными балками, двутаврами, швеллерами. Связь работает как на растяжение, так и на сжатие. Если стержень испытывает растяжение, то реакция направлена по стержню к месту закрепления, если на сжатие, то реакция - за стержень.

д) Шарнирная опора . Опоры бывают подвижные и неподвижные. Неподвижная опора имеет две реакции, расположенные перпендикулярно друг к другу. Подвижная опора имеет одну реакцию, перпендикулярно поверхности.

Подвижная опора Неподвижная опора

Задания для выполнения работы

1. Вычертить рисунки своего варианта.

2. Описать рисунок.

3. Определить вид связи и заменить их реакциями.

Вариант 18

1.

2.

3.

Контрольные вопросы:

1. В чем отличие между осью и проекцией?

2. Сколько уравнений равновесия Вы составляли при решении задачи?

3. Методика решения задач ПССС.

4. Дайте определение плоской системе сходящихся сил.

5. Какой величиной является проекция силы на координатную плоскость?

Литература:

1. Вереин Л.И. Техническая механика – М: Академия, 2006.

2. Мовнин М.С. Основы технической механики – СПБ: Политехника, 2003.

3. Молчанова Е.В., Шурыгина Г.Н. Статика и сопротивление материалов - Томск, 2008.

Практическая работа №2

Тема урока: Определение реакций связи плоской системы сходящихся сил.

Тип урока: закрепление полученных знаний.

Цель урока: Научиться определять реакции связи плоской системы сходящихся сил

Обеспечивающие средства:

1. методическое руководство по выполнению работы;

2. индивидуальное задание;

3. тетрадь для практических работ;

7. калькулятор.

Технология работы:

1.Внимательно изучите методические указания, предложенный теоретический материал.

2.В соответствие с вариантом, выполнить задание по методике представленной ниже.

3.Сделайте выводы о проделанной работе.

4.Ответить на контрольные вопросы.

Теоретический материал

Условия и уравнения равновесия плоской системы произвольно- расположенных сил.

При приведении системы сил к точке получается R гл и М гл.

Если система сил находится в равновесии, то R гл = 0, М гл = 0.

Запишем три вида уравнений равновесия для данной системы.

Первый вид

Часто геометрическое сложение векторов сил требует сложных и громоздких построений. В таких случаях прибегают к другому методу, где геометрическое построе­ние заменен о вычислениями скалярных величин. Дости­гается это проектированием заданных сил на оси прямо­угольной системы координат.

Как известнее из математики, осью называют неограни­ченную прямую линию , которой приписано определенное направление . Проекция вектора на ось является скаляр­ной величиной, которая определяется отрезком оси , отсе­каемым перпендикулярами , опущенными из начала и конца вектора на ось.

Проекция вектора считается положительной (+ ), если направление от начала проекции к ее концу совпадает с положительным направлением оси. Проекция вектора считается отрицательной (- ), если направление от на­чала проекции к ее концу противоположно положитель­ному направлению оси.

Рассмотрим ряд случаев проектирования сил на ось .

1. Дана сила Р (рис.а ), она лежит в одной пло­скости с осью х . Вектор силы составляет с положительным направлением оси острый угол α .

Чтобы найти величину проекции , из начала и конца вектора силы опускаем перпендикуляры на ось х, полу­чаем

Р х = ab = Р cos α .

Проекция вектора в данном случае положительна .

2. Дана сила Q (рис. б ), которая лежит в одной плоскости с осью х , но ее вектор составляет с положи­тельным направлением оси тупой угол α .

Проекция силы Q на ось х

Q х = ab = Q cos α,

cos a = - cos β .

Так как α > 90° , то cos cos α - отрицательная величина. Выразив cos α через cos β (β - острый угол), оконча­тельно получим

Q х = - Q cos β

В этом случае проекция силы отрицательна .

Итак, проекция силы на ось координат равна произве­дению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением оси .

При определении проекции вектора силы на ось поль­зуются обычно косинусом острого угла, независимо от того, с каким направлением оси - положительным или отрицательным - он образо­ван. Знак проекции легче устанавливать непосредствен­но по чертежу.

Силу, расположенную на плоскости хОу , можно спроек­тировать на две координатные оси Ох и Оу . Рассмотрим рисунок.

На нем изображена сила Р и ее проекции Р х и Р у . Ввиду того что проекции образуют между собой прямой угол, из прямоугольного треугольника ABC следует:

Решение задач на равновесие сходящихся сил с помощью построения замкнутых силовых многоугольников сопряжено с громоздкими построениями. Универсальным методом решения таких задач является переход к определению проекций заданных сил на координатные оси и оперирование с этими проекциями. Осью называют прямую линию, которой приписано определенное направление.

Проекция вектора на ось является скалярной величиной, которая опреде­ляется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами, опущенными на нее из начала и конца вектора.

Проекция вектора считается положительной, если направление от начала проекции к ее концу совпадает с положительным направлением оси. Проекция вектора считается отрицательной, если направление от начала проекции к ее концу противоположно положительному направлению оси.

Таким образом, проекция силы на ось координат равна произведению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением оси.

Рассмотрим ряд случаев проецирования сил на ось:

Вектор силы F (рис. 15) составляет с положительным напра­влением оси х острый угол .

Чтобы найти проекцию, из начала и конца вектора силы опускаем перпендикуляры на ось oх ; получаем

1. F x = F cos α

Проекция вектора в данном случае положительна

Сила F (рис. 16) составляет с положительным направлением оси х тупой угол α.

Тогда F x = F cos α, но так как α = 180 0 - φ,

F x = F cos α = F cos180 0 - φ =- F cos φ.

Проекция силы F на ось oх в данном случае отрицательна.

Сила F (рис. 17) перпендикулярна оси oх .

Проекция силы F на ось х равна нулю

F x = F cos 90° = 0.

Силу, расположенную на плоскости хоу (рис. 18), можно спроектировать на две координатные оси ох и оу .

Силу F можно разложить на составляющие: F x и F y . Модуль вектора F x равен проекции вектора F на ось ox , а модуль вектора F y равен проекции вектора F на ось oy .

Из ΔОАВ : F x =F cos α, F x =F sin α.

Из ΔОАС : F x =F cos φ, F x =F sin φ.

Модуль силы можно найти по теореме Пифагора:

Проекция векторной суммы или равнодействующей на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.

Рассмотрим сходящиеся силы F 1 , F 2 , F 3 , и F 4 , (рис. 19, а). Геометрическая сумма, или равнодействующая, этих сил F определяется замыкающей стороной силового многоугольника

Опустим из вершин силового многоугольника на ось x перпендикуляры.

Рассматривая полученные проекции сил непосредственно из выполненного построения, имеем

F = F 1x +F 2x +F 3x + F 4x

где n - число слагаемых векторов. Их проекции входят вышеуказанное уравнение с соответствующим знаком.

В плоскости геометрическую сумму сил можно спроецировать на две координатные оси, а в пространстве – соответственно на три.

Проекция силы на ось определяется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора (рис. 1.15).

рис. 1.15

Величина проекции силы на ось равна произведению модуля си­лы на косинус угла между вектором силы и положительным напра­влением оси. Таким образом, проекция имеет знак: положительный при одинаковом направлении вектора силы и оси и отрицательный при направлении в сторону отрицательной полуоси (рис. 1.16).

рис. 1.16

F 1x = F 1 cos α 1 > 0; F 2x = F 2 cos α 2 = - F 2 cos β 2 ;

cos α 2 = cos (180° - β 2) = - cos β 2 ;

F 3x = F 3 cos 90° = 0; F 4x = F 4 cos 180° = - F 4

Проекция силы на две взаимно перпендикулярные оси

F x = F cos a > 0;

F y = F cos β = F sin α > 0 . рис.1.17

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Теоретическая механика

Теоретическая механика.. введение.. любое явление в ок ружающем нас макромире связано с движением следовательно не может не иметь того или иного..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Твитнуть

Все темы данного раздела:

Аксиомы статики
Условия, при которых тело может находиться в равновесии, выводиться из нескольких основных положений, применяемых без доказательств, но подтвержденных опытом и называемых аксиомами статики.

Связи и реакции связей
Все законы и теоремы статики справедливы для свободного твердого тела. Все тела делятся на свободные и связанные. Свободным называется тело, которое не испыты

Определение равнодействующей геометрическим способом
Знать геометрический способ определения равнодействующей системы сил, условия равновесия плоской системы сходящихся сил.

Равнодействующая сходящихся сил
Равнодействующую двух пересекающихся сил можно опреде­лить с помощью параллелограмма или треугольника сил (4-я ак­сиома) (рис. 1.13).

Определение равнодействующей системы сил аналитическим способом
Величина равнодействующей равна векторной (геометрической) сумме векторов системы сил. Определяем равнодействующую геоме­трическим способом. Выберем систему координат, определим про­екции всех зада

Условия равновесия плоской системы сходящихся сил в аналитической форме
Исходя из того, что равнодействующая равна нулю, получим: FΣ

Методика решения задач
Решение каждой задачи можно условно разделить на три этапа. Первый этап: Отбрасываем внешние связи системы тел, равновесие которой рассматривается, и заменяем их действие реакциями. Необхо

Пара сил и момент силы относительно точки
Знать обозначение, модуль и определение моментов пары сил и силы относительно точки, условия равновесия системы пар сил. Уметь определять моменты пар сил и момент силы относитель

Эквивалентность пар
Две пары сил считаются эквивалентными в том случае, если после замены одной пары другой парой механическое состояние тела не изменяется, т. е. не изменяется движение тела или не нару­шается его

Опоры и опорные реакции балок
Правило для определения направления реакций связей (рис.1.22). Шарнирно-подвижная опора допускает поворот вокруг оси шарнира и линейное перемещение параллельно опорной плос­кости.

Приведение силы к точке
Произвольная плоская система сил представляет собой систему сил, линии действия которых расположены в плоскости каким угодно образом (рис. 1.23). Возьмем силу

Приведение плоской системы сил к данной точке
Метод приведения одной силы к данной точке можно применить к какому угодно числу сил. Допустим, ч

Влияние точки приведения
Точка приведения выбрана произвольно. Произвольная плоская система сил представляет собой систему сил, линия действия которых расположены в плоскости каким угодно образом. При изменении по

Теорема о моменте равнодействующей (теорема Вариньона)
В общем случае произвольная плоская система сил приводится к главному вектору F"гл и к главному моменту Мгл относительно выбранного центра приведения, причем гла

Условие равновесия произвольно плоской системы сил
1)При равновесии главный вектор системы равен нулю (=0).

Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления
Иметь представление о видах опор и возникающих реакциях в опорах. Знать три формы уравнений равновесия и уметь их использовать для определения реакций в опорах балочных систем.

Виды нагрузок
По способу приложения нагрузки делятся на сосредоточенные и распределенные. Если реально передача нагрузки происходит на пренебрежимо малой площадке (в точке), нагрузку называют сосре­доточенной

Момент силы относительно точки
Момент силы относительно оси характеризуется вра­щательным эффектом, создаваемым силой, стремящейся повернуть тело вокруг данной оси. Пусть к телу в про­извольной точке К приложена сила

Вектор в пространстве
В пространстве вектор силы проецируется на три взаимно пер­пендикулярные оси координат. Проекции вектора образуют ребра прямоугольного параллелепипеда, век­тор силы совпадает с диагональю (рис. 1.3

Приведение произвольной пространственной системы сил к центру О
Дана пространственная система сил (рис. 7.5а). Приведем ее к центру О. Силы необходимо параллельно перемещать, при этом образует­ся система пар сил. Момент каждой из этих пар равен

Некоторые определения теории механизмов и машин
При дальнейшем изучении предмета теоретической ме­ханики, в особенности при решении задач, мы столкнемся с но­выми понятиями, относящимися к науке, которая называется теорией механизмов и машин.

Ускорение точки
Векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по величине и направлени

Ускорение точки при криволинейном движении
При движении точки по криволинейном траектории скорость меняет свое направление. Представим себе точку М, которая за время Δt, двигаясь по криволинейной траектории, переместилас

Равномерное движение
Равномерное движение - это движение с постоянной скоро­стью: v = const. Для прямолинейного равномерного движения (рис. 2.9, а)

Неравномерное движение
При неравномерном движении численные значения скорости и ускорения меняются. Уравнение неравномерного движения в общем виде представля­ет собой уравнение третьей S = f

Простейшие движения твердого тела
Иметь представление о поступательном движении, его особенности и параметрах, о вращательном движении тела и его параметрах. Знать формулы для определения параметров поступательно

Вращательное движение
Движение, при котором по крайнем мере точки твердого тела или неизменяемой системы остаются неподвижными, называемыми вращательным; прямая линия, соединяющая эти две точки,

Частные случаи вращательного движения
Равномерное вращение (угловая скорость постоянна): ω = const. Уравнение (закон) равномерного вращения в данном случае име­ет вид: `

Скорости и ускорения точек вращающегося тела
Тело вращается вокруг точки О. Определим параметры дви­жения точки Л, расположенной на расстоянии г а от оси вращения (рис. 11.6, 11.7).

Преобразование вращательного движения
Преобразование вращательного движения осуществля­ется разнообразными механизмами, которые называются пере­дачами. Наиболее распространенными являются зубчатые и фрикционные передачи, а также

Основные определения
Сложным движением считают движение, которое можно разло­жить на несколько простых. Простыми движениями считают посту­пательное и вращательное. Для рассмотрения сложного движения точ

Плоскопараллельное движение твердого тела
Плоскопараллельным, или плоским, называется такое движение твердого тела, при котором все точки тела перемещаются парал­лельно некоторой неподвижной в рассматриваемой системе отсчета

Метод определения мгновенного центра скоростей
Скорость любой точки тела можно определять с помощью мгновенного центра скоростей. При этом сложное движение пред­ставляют в виде цепи вращений вокруг разных центров. Задача

Понятие трения
Абсолютно гладких и абсолютно твердых тел в природе не существует, и поэтому при перемещении одного тела по по­верхности другого возникает сопротивление, которое называется трением.

Трение скольжения
Трением скольжения называется трение движения, при котором скорости тел в точке касания различны по значению и (или) направлению. Трение скольжения, как и трение покоя, обуслов

Свободная и несвободная точки
Материальная точка, движение которой в пространстве не огра­ничено какими-нибудь связями, называется свободной. Задачи реша­ются с помощью основного закона динамики. Материальные то

Принцип кинетостатики (принцип Даламбера)
Принцип кинетостатики используют для упрощения решения ряда технических задач. Реально силы инерции приложены к телам, связанным с разго­няющимся телом (к связям). Даламбер предло

Работа постоянной силы на прямолинейном пути
Работа силы в общем случае численно равна произведению мо­дуля силы на длину пройденного мм пути и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения (рис. 3.8): W

Работа постоянной силы на криволинейном пути
Пусть точка М движется по дуге окружности и сила F соста­вляет некоторый угол а

Мощность
Для характеристики работоспособности и быстроты соверше­ния работы введено понятие мощности.

Коэффициент полезного действия
Способность тела при переходе из одного состояния в другое совершать работу называется энергией. Энергия есть общая мера различных форм движения и взаимодействия матери

Закон изменения количества движения
Количеством движения материальной точки называется вектор­ная величина, равная произведению массы точки на ее скорость

Потенциальная и кинитецеская энергия
Существуют две основные формы механической энергии: потен­циальная энергия, или энергия положения, и кинетическая энергия, или энергия движения. Чаще всего приходится им

Закон изменения кинетической энергии
Пусть на материальную точку массой m действует постоянная сила. В этом случае точк

Основы динамики системы материальных точек
Совокупность материальных точек, связанных между собой силами взаимодействия, называется механической системой. Любое материальное тело в механике рассматривается как меха­ническая

Основное уравнение динамики вращающегося тела
Пусть твердое тело под действием внешних сил вращается во­круг оси Oz с угловой скоростью

Моменты инерции некоторых тел
Момент инерции сплошного цилиндра (рис. 3.19) Момент инерции полого тонкостен­ного цили

Сопротивление материалов
Иметь представление о видах расчетов в сопротивлении материалов, о классификации нагрузок, о внутренних силовых факторах и возникающих деформациях, о механических напряжениях. Зн

Основные положения. Гипотезы и допущения
Практика показывает, что все части конструкций под действием нагрузок деформируются, т. е. изменяет свою форму и размеры, а в некоторых случаях происходит разрушение конструкции.

Внешние силы
Всопротивлении материалов под внешними воздейст­виями подразумевается не только силовое взаимодейст­вие, но и тепловое, возникающее из-за неравномерного изменения температурного ре

Деформации линейные и угловые. Упругость материалов
В отличие от теоретической механики, где изучалось взаимодействие абсолютно жестких (недеформируемых) тел, в сопротивлении материалов исследуется поведение конструкций, материал которых способен де

Допущения и ограничения, принятые в сопротивлении материалов
Реальные строительные материалы, из которых воз­водятся различные здания и сооружения, представляют собой довольно сложные и неоднородные твердые тела, обладающие различными свойствами. Учесть это

Виды нагрузок и основных деформаций
В процессе работы машин и сооружений их узлы и детали воспринимают и передают друг другу различные нагрузки, т. е. силовые воздействия, вызывающие изменение внутренних сил и

Формы элементов конструкции
Все многообразие форм сводится к трем видам по одному при­знаку. 1. Брус - любое тело, у которого длина значительно больше других размеров. В зависимости от форм продольной

Метод сечений. Напряжение
Знать метод сечений, внутренние силовые факторы, составляющие напряжений. Уметь определять виды нагружений и внутренние силовые факторы в поперечных сечениях. Для ра

Растяжение и сжатие
Растяжением или сжатием называют вид нагружения, при ко­тором в поперечном сечении бруса возникает только один внутрен­ний силовой фактор - продольная сила. Продольные силы м

Центральное растяжение прямого бруса. Напряжения
Центральным растяжением или сжатием называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечения бруса возникает только продольная (нормаль­ная) сила N, а все остальные внутренние

Напряжения при растяжении и сжатии
При растяжении и сжатии в сечении действует только нормаль­ное напряжение. Напряжения в поперечных сечениях могут рассматриваться как силы, приходящиеся на единицу площади. Таким

Продольные и поперечные деформации. Закон Гука
Иметь представление о продольных и поперечных деформациях и их связи. Знать закон Гука, зависимости и формулы для расчета на­пряжений и перемещений. Уметь проводи

Закон Гука при растяжении и сжатии
Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Роберта Гука (1635 - 1703).

Формулы для расчета перемещений поперечных сечений бруса при растяжении и сжатии
Используем известные формулы. Закон Гука σ=Еε. Откуда.

Механические испытания. Статические испытания на растяжение и сжатие
Это стандартные испыта­ния: оборудование - стандарт­ная разрывная машина, стан- дартный образец (круглый или плоский), стандартная методика расчета. На рис. 4.15 представлена схема

Механические характеристики
Механические характеристики материалов, т. е. величины, характеризующие их прочность, пластичность, упругость, твер­дость, а также упругие постоянные Е и υ, необходимые конструктору для

Практическое занятие №1. Плоская система сходящихся сил

Знать способы сложения двух сил и разложение силы на со­ставляющие, геометрический и аналитический способы определе­ния равнодействующей силы, условия равновесия плоской сходящей­ся системы сил.

Уметь определять равнодействующую системы сил, решать задачи на равновесие геометрическим и аналитическим способом, рационально выбирая координатные оси.

Расчетные формулы

Равнодействующая системы сил

где F ∑ x , F ∑ y - проекции равнодействующей на оси координат; F kx , F ky - проекции векторов-сил системы на оси координат.

где - угол равнодействующей с осью Ох.

Условие равновесия

Если плоская система сходящихся сил находится в равновесии, мно­гоугольник сил должен быть замкнут.

Пример 1. Определение равнодействующей системы сил.

Определить равнодействующую плоской системы сходящихся сил аналитическим и геометрическим способами (рис. П1.1). Дано:

Решение

1. Определить равнодействующую аналитическим способом (рис. П1.1a).

2. Определить равнодействующую графическим способом.

С помощью транспортира в масштабе 2 мм = 1 кН строим много­угольник сил (рис. П1.1б). Измерением определяем модуль равно­действующей силы и угол наклона ее к оси Ох.

Результаты расчетов не должны отличаться более чем на 5%:

Расчетно-графическая работа №1. Определение равнодействующей плоской системы схо­дящихся сил аналитическим и геометрическим способами

Задание 1. Используя схему рис. П1.1а, определить равнодей­ствующую системы сил геометрическим способом

Пример 2. Решение задачи на равновесие аналитиче­ским способом.

Грузы подвешены на стержнях и канатах и находятся в равно­весии. Определить реакции стержней АВ и СВ (рис. П1.2).

Решение

1. Определяем вероятные направления реакций (рис. П1.2а). Мысленно убираем стержень АВ , при этом стержень СВ опускается, следовательно, точка В отодвигается от стены: назначение стержня АВ - тянуть точку В к стене.

Если убрать стержень СВ , точка В опустится, следовательно, стержень СВ поддерживает точку В снизу - реакция направлена вверх.

2. Освобождаем точку В от связи (рис. П1.26).

3. Выберем направление осей координат, ось Ох совпадает с ре­акцией R 1 .

4. Запишем уравнения равновесия точки В :

5. Из второго уравнения получаем:

Из первого уравнения получаем:

Вывод: стержень АВ растянут силой 28,07 кН, стержень СВ сжат силой 27,87 кН.

Примечание. Если при решении реакция связи окажется отрицательной, значит, вектор силы направлен в противоположную сторону.

В данном случае реакции направлены верно.

Определить величину и направление реакций связей по данным одного из вариантов, показанных на рисунке.

Задача 1

ЛЕКЦИЯ 4

Тема 1.3. Пара сил и момент силы относительно точки

Знать обозначение, модуль и определение моментов пары сил или относительно точки, условия равновесия системы пар сил.

Уметь определять моменты пар сил и момент силы относительно точки, определять момент результирующей пары сил.

Пара сил, момент пары сил

Парой сил называется система двух сил, равных по модулю, параллельных и направ­ленных в разные стороны.

Рассмотрим систему сил (F, F 1), образую­щих пару.

1. Пара сил вызывает вращение тела, и ее действие на тело оценивается моментом.
2. Силы, входящие в пару, не уравновешива­ются, т. к. они приложены к двум точкам (рис. 4.1). Их действие на тело не может быть заменено одной силой (равнодействую­щей).
3. Момент пары сил численно равен произ­ведению модуля силы на расстояние между линиями действия сил (плечо пары).
4. Момент считают положительным, ес­ли пара вращает тело по часовой стрелке (рис. 4.1 б): M( F; F") = Fa; М > 0.
5. Плоскость, проходящая через линии действия сил пары, называется плоскостью действия пары.