विभिन्न आधारों वाले जटिल घातांकीय समीकरणों को हल करना। घातीय समीकरण और असमानताएँ

यह पाठ उन लोगों के लिए है जो अभी घातीय समीकरण सीखना शुरू कर रहे हैं। हमेशा की तरह, आइए एक परिभाषा और सरल उदाहरणों से शुरुआत करें।

यदि आप यह पाठ पढ़ रहे हैं, तो मुझे संदेह है कि आपको पहले से ही सबसे सरल समीकरणों की न्यूनतम समझ है - रैखिक और वर्ग: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ आदि। इस तरह के निर्माणों को हल करने में सक्षम होना नितांत आवश्यक है ताकि जिस विषय पर अब चर्चा की जाएगी उसमें "लटका" न जाए।

तो, घातीय समीकरण। मैं आपको कुछ उदाहरण देता हूँ:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=-3\]

उनमें से कुछ आपको अधिक जटिल लग सकते हैं, इसके विपरीत, कुछ बहुत सरल हैं। लेकिन वे सभी एक महत्वपूर्ण विशेषता से एकजुट हैं: उनमें एक घातीय फलन $f\left(x \right)=((a)^(x))$ होता है। इस प्रकार, हम परिभाषा प्रस्तुत करते हैं:

एक घातांकीय समीकरण कोई भी समीकरण होता है जिसमें एक घातांकीय फलन होता है, अर्थात। $((a)^(x))$ फॉर्म की एक अभिव्यक्ति। निर्दिष्ट फ़ंक्शन के अलावा, ऐसे समीकरणों में कोई अन्य बीजगणितीय निर्माण शामिल हो सकते हैं - बहुपद, मूल, त्रिकोणमिति, लघुगणक, आदि।

तो ठीक है। परिभाषा समझ आयी. अब सवाल यह है कि इस सारी बकवास को कैसे हल किया जाए? उत्तर एक ही समय में सरल और जटिल दोनों है।

आइए अच्छी खबर से शुरू करें: कई छात्रों के साथ अपने अनुभव से, मैं कह सकता हूं कि उनमें से अधिकांश के लिए, घातांकीय समीकरण समान लघुगणक और उससे भी अधिक त्रिकोणमिति की तुलना में बहुत आसान हैं।

लेकिन एक बुरी खबर भी है: कभी-कभी सभी प्रकार की पाठ्यपुस्तकों और परीक्षाओं के लिए समस्याओं के संकलनकर्ताओं के पास "प्रेरणा" आती है, और उनका नशीली दवाओं से भरा मस्तिष्क ऐसे क्रूर समीकरण उत्पन्न करना शुरू कर देता है कि न केवल छात्रों के लिए उन्हें हल करना समस्याग्रस्त हो जाता है - यहां तक ​​कि कई शिक्षक भी ऐसी समस्याओं में फंस जाते हैं।

हालाँकि, आइए दुखद बातों के बारे में बात न करें। और चलिए उन तीन समीकरणों पर लौटते हैं जो कहानी की शुरुआत में ही दिए गए थे। आइए उनमें से प्रत्येक को हल करने का प्रयास करें।

पहला समीकरण: $((2)^(x))=4$. खैर, संख्या 4 पाने के लिए संख्या 2 को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? शायद दूसरा? आख़िरकार, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - और हमने सही संख्यात्मक समानता प्राप्त कर ली है, यानी। वास्तव में $x=2$। खैर, धन्यवाद, कैप, लेकिन यह समीकरण इतना सरल था कि मेरी बिल्ली भी इसे हल कर सकती थी। :)

आइए निम्नलिखित समीकरण देखें:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

लेकिन यहां ये थोड़ा ज्यादा मुश्किल है. कई छात्र जानते हैं कि $((5)^(2))=25$ गुणन सारणी है। कुछ लोगों को यह भी संदेह है कि $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ अनिवार्य रूप से नकारात्मक शक्तियों की परिभाषा है (सूत्र $((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))$ के समान)।

अंत में, केवल कुछ चुनिंदा लोग ही अनुमान लगाते हैं कि इन तथ्यों को जोड़ा जा सकता है और आउटपुट निम्नलिखित परिणाम है:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

इस प्रकार, हमारा मूल समीकरण इस प्रकार फिर से लिखा जाएगा:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\राइटएरो ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

और अब यह पूरी तरह से हल हो चुका है! समीकरण के बायीं ओर एक घातांकीय फलन है, समीकरण के दायीं ओर एक घातांकीय फलन है, उनके अलावा कहीं और कुछ भी नहीं है। इसलिए, आधारों को "त्यागना" और मूर्खतापूर्ण ढंग से संकेतकों की बराबरी करना संभव है:

हमें सबसे सरल रैखिक समीकरण मिला जिसे कोई भी छात्र केवल कुछ पंक्तियों में हल कर सकता है। ठीक है, चार पंक्तियों में:

\[\begin(संरेखित)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(संरेखित)\]

यदि आपको यह समझ में नहीं आया कि पिछली चार पंक्तियों में क्या हुआ, तो "रैखिक समीकरण" विषय पर वापस लौटना सुनिश्चित करें और इसे दोहराएँ। क्योंकि इस विषय को स्पष्ट रूप से आत्मसात किए बिना, आपके लिए घातीय समीकरणों को अपनाना जल्दबाजी होगी।

\[((9)^(x))=-3\]

अच्छा, आप कैसे निर्णय लेते हैं? पहला विचार: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, इसलिए मूल समीकरण को इस तरह फिर से लिखा जा सकता है:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

तब हमें याद आता है कि किसी डिग्री को घात तक बढ़ाने पर, संकेतक कई गुना बढ़ जाते हैं:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\राइटएरो ((3)^(2x))=-((3)^(1))\]

\[\begin(संरेखित)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(संरेखित)\]

और ऐसे निर्णय के लिए, हमें ईमानदारी से योग्य ड्यूस मिलता है। क्योंकि हमने, एक पोकेमॉन की समभावता के साथ, तीनों के सामने ऋण चिह्न को इसी तीन की घात में भेज दिया। और आप ऐसा नहीं कर सकते. और यही कारण है। त्रिगुण की विभिन्न शक्तियों पर एक नज़र डालें:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)(2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\frac(1)(3)))=\ sqrt(3) \\ ( (3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& ((3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

इस टैबलेट को संकलित करते समय, मैंने जितनी जल्दी विकृत किया, मैंने नहीं किया: मैंने सकारात्मक डिग्री, और नकारात्मक डिग्री, और यहां तक ​​​​कि भिन्नात्मक डिग्री पर भी विचार किया ... अच्छा, यहां कम से कम एक नकारात्मक संख्या कहां है? वह नहीं है! और यह नहीं हो सकता, क्योंकि घातीय फ़ंक्शन $y=((a)^(x))$, सबसे पहले, हमेशा केवल सकारात्मक मान लेता है (चाहे आप एक को कितना भी गुणा करें या दो से विभाजित करें, यह अभी भी एक सकारात्मक संख्या होगी), और दूसरी बात, ऐसे फ़ंक्शन का आधार - संख्या $a$ - परिभाषा के अनुसार एक सकारात्मक संख्या है!

खैर, फिर समीकरण $((9)^(x))=-3$ को कैसे हल करें? नहीं, कोई जड़ें नहीं हैं. और इस अर्थ में, घातांकीय समीकरण द्विघात समीकरणों के समान होते हैं - उनका कोई मूल भी नहीं हो सकता है। लेकिन यदि द्विघात समीकरणों में मूलों की संख्या विवेचक द्वारा निर्धारित की जाती है (विभेदक धनात्मक है - 2 मूल, ऋणात्मक - कोई मूल नहीं), तो घातीय समीकरणों में यह सब इस पर निर्भर करता है कि समान चिह्न के दाईं ओर क्या है।

इस प्रकार, हम मुख्य निष्कर्ष निकालते हैं: $((a)^(x))=b$ के रूप का सबसे सरल घातीय समीकरण का एक मूल है यदि और केवल यदि $b \gt 0$। इस सरल तथ्य को जानकर आप आसानी से यह निर्धारित कर सकते हैं कि आपके सामने प्रस्तावित समीकरण के मूल हैं या नहीं। वे। क्या इसे बिल्कुल हल करना उचित है या तुरंत लिख लें कि कोई जड़ें नहीं हैं।

जब हमें अधिक जटिल समस्याओं को हल करना होगा तो यह ज्ञान हमारी कई बार मदद करेगा। इस बीच, पर्याप्त गीत - यह घातीय समीकरणों को हल करने के लिए बुनियादी एल्गोरिदम का अध्ययन करने का समय है।

घातीय समीकरणों को कैसे हल करें

तो, आइए समस्या का सूत्रीकरण करें। घातीय समीकरण को हल करना आवश्यक है:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b \gt 0\]

"बेवकूफ" एल्गोरिदम के अनुसार, जिसका हमने पहले उपयोग किया था, संख्या $b$ को संख्या $a$ की घात के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक है:

इसके अलावा, यदि वेरिएबल $x$ के स्थान पर कोई अभिव्यक्ति है, तो हमें एक नया समीकरण मिलेगा, जिसे पहले ही हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

\[\begin(संरेखित करें)& ((2)^(x))=8\राइटएरो ((2)^(x))=((2)^(3))\राइटएरो x=3; \\& ((3)^(-x))=81\राइटएरो ((3)^(-x))=((3)^(4))\राइटएरो -x=4\राइटएरो x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\राइटएरो ((5)^(2x))=((5)^(3))\राइटएरो 2x=3\राइटएरो x=\frac(3)(2). \\\end(संरेखित करें)\]

और अजीब बात है कि यह योजना लगभग 90% मामलों में काम करती है। तो फिर अन्य 10% के बारे में क्या? शेष 10% थोड़े "स्किज़ोफ्रेनिक" घातीय समीकरण के रूप में हैं:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

3 प्राप्त करने के लिए आपको 2 को किस शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है? पहले में? लेकिन नहीं: $((2)^(1))=2$ पर्याप्त नहीं है। क्षण में? न ही: $((2)^(2))=4$ बहुत अधिक है। तो क्या?

जानकार छात्रों ने शायद पहले ही अनुमान लगा लिया है: ऐसे मामलों में, जब "खूबसूरती से" हल करना असंभव होता है, तो "भारी तोपखाना" मामले से जुड़ा होता है - लघुगणक। मैं आपको याद दिला दूं कि लघुगणक का उपयोग करके, किसी भी सकारात्मक संख्या को किसी अन्य की शक्ति के रूप में दर्शाया जा सकता है सकारात्मक संख्या(इकाई को छोड़कर):

यह सूत्र याद है? जब मैं अपने छात्रों को लघुगणक के बारे में बताता हूं, तो मैं हमेशा आपको चेतावनी देता हूं: यह सूत्र (यह मूल लघुगणक पहचान भी है या, यदि आप चाहें, तो लघुगणक की परिभाषा) आपको बहुत लंबे समय तक परेशान करेगा और सबसे अप्रत्याशित स्थानों में "उभरेगा"। ख़ैर, वह सामने आ गई। आइए हमारे समीकरण और इस सूत्र को देखें:

\[\begin(संरेखित)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(संरेखित)\]

यदि हम मान लें कि $a=3$ दाईं ओर हमारी मूल संख्या है, और $b=2$ घातीय फ़ंक्शन का आधार है, जिससे हम दाईं ओर को कम करना चाहते हैं, तो हमें निम्नलिखित मिलता है:

\[\begin(संरेखित करें)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3)); \\& ((2)^(x))=3\राइटएरो ((2)^(x))=((2)^((((\log )_(2))3))\राइटएरो x=((\log )_(2))3. \\\end(संरेखित करें)\]

हमें थोड़ा अजीब उत्तर मिला: $x=((\log )_(2))3$. किसी अन्य कार्य में, इस तरह के उत्तर से, कई लोग संदेह करेंगे और अपने समाधान की दोबारा जांच करना शुरू कर देंगे: अगर कहीं कोई गलती हुई तो क्या होगा? मैं आपको खुश करने की जल्दबाजी करता हूं: यहां कोई त्रुटि नहीं है, और घातीय समीकरणों की जड़ों में लघुगणक काफी विशिष्ट स्थिति है। इसलिए इसकी आदत डाल लें। :)

अब हम शेष दो समीकरणों को सादृश्य द्वारा हल करते हैं:

\[\begin(संरेखित करें)& ((5)^(x))=15\राइटएरो ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15))\राइटएरो x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\राइटएरो ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\राइटएरो 2x=((\log )_(4))11\राइटएरो x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(संरेखित करें)\]

बस इतना ही! वैसे, अंतिम उत्तर अलग तरीके से लिखा जा सकता है:

यह हम ही थे जिन्होंने लघुगणक के तर्क में गुणक का परिचय दिया। लेकिन कोई भी हमें इस कारक को आधार में जोड़ने से नहीं रोकता है:

इसके अलावा, सभी तीन विकल्प सही हैं - वे एक ही संख्या को लिखने के विभिन्न रूप हैं। इसमें से किसे चुनना और लिखना है यह निर्णय आप पर निर्भर है।

इस प्रकार, हमने $((a)^(x))=b$ के रूप के किसी भी घातीय समीकरण को हल करना सीख लिया है, जहां संख्याएं $a$ और $b$ पूरी तरह से सकारात्मक हैं। हालाँकि, हमारी दुनिया की कड़वी सच्चाई यह है कि ऐसे सरल कार्य आपको बहुत कम ही मिलेंगे। अक्सर आपका सामना कुछ इस तरह से होगा:

\[\begin(संरेखित करें)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\end(संरेखित करें)\]

अच्छा, आप कैसे निर्णय लेते हैं? क्या इसका कोई समाधान हो सकता है? और यदि हां, तो कैसे?

घबराए नहीं। ये सभी समीकरण जल्दी और आसानी से उन सरल सूत्रों में बदल जाते हैं जिन पर हम पहले ही विचार कर चुके हैं। आपको बस बीजगणित पाठ्यक्रम की कुछ युक्तियाँ याद रखने की आवश्यकता है। और हां, यहां डिग्री के साथ काम करने के लिए कोई नियम नहीं हैं। मैं अब इस सब के बारे में बात करूंगा। :)

घातीय समीकरणों का परिवर्तन

याद रखने वाली पहली बात यह है कि कोई भी घातीय समीकरण, चाहे वह कितना भी जटिल क्यों न हो, किसी न किसी तरह से सबसे सरल समीकरणों में घटाया जाना चाहिए - वही जिन पर हम पहले ही विचार कर चुके हैं और जिन्हें हम हल करना जानते हैं। दूसरे शब्दों में, किसी भी घातीय समीकरण को हल करने की योजना इस तरह दिखती है:

1. मूल समीकरण लिखिए. उदाहरण के लिए: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. कुछ बेवकूफी भरी बकवास करो. या यहां तक ​​कि कुछ बकवास जिसे "समीकरण बदलना" कहा जाता है;
3. आउटपुट पर, सबसे सरल अभिव्यक्ति प्राप्त करें जैसे $((4)^(x))=4$ या उसके जैसा कुछ और। इसके अलावा, एक प्रारंभिक समीकरण एक साथ कई ऐसे व्यंजक दे सकता है।

पहले बिंदु से, सब कुछ स्पष्ट है - यहां तक ​​कि मेरी बिल्ली भी एक पत्ते पर समीकरण लिख सकती है। तीसरे बिंदु के साथ भी, ऐसा लगता है, यह कमोबेश स्पष्ट है - हम ऊपर ऐसे समीकरणों का एक पूरा समूह पहले ही हल कर चुके हैं।

लेकिन दूसरे बिंदु के बारे में क्या? परिवर्तन क्या हैं? क्या को क्या में बदलना है? और कैसे?

खैर, आइए इसका पता लगाएं। सबसे पहले, मैं निम्नलिखित बात बताना चाहूँगा। सभी घातीय समीकरणों को दो प्रकारों में विभाजित किया गया है:

1. समीकरण समान आधार वाले घातीय कार्यों से बना है। उदाहरण: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. सूत्र में विभिन्न आधारों के साथ घातीय कार्य शामिल हैं। उदाहरण: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ और $((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09$.

आइए पहले प्रकार के समीकरणों से शुरू करें - इन्हें हल करना सबसे आसान है। और उनके समाधान में हमें स्थिर अभिव्यक्तियों के चयन जैसी तकनीक से मदद मिलेगी।

एक स्थिर अभिव्यक्ति पर प्रकाश डालना

आइए इस समीकरण को फिर से देखें:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

हम क्या देखते हैं? चारों को अलग-अलग डिग्री तक बढ़ाया गया है। लेकिन ये सभी घात अन्य संख्याओं के साथ चर $x$ के सरल योग हैं। इसलिए, डिग्री के साथ काम करने के नियमों को याद रखना आवश्यक है:

\[\begin(संरेखित करें)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a)^(y))). \\\end(संरेखित करें)\]

सीधे शब्दों में कहें तो घातांकों के योग को घातों के गुणनफल में बदला जा सकता है, और घटाव को आसानी से विभाजन में बदला जा सकता है। आइए इन सूत्रों को हमारे समीकरण की घातों पर लागू करने का प्रयास करें:

\[\begin(संरेखित करें)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^(x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \\\end(संरेखित)\]

हम इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए मूल समीकरण को फिर से लिखते हैं, और फिर हम बाईं ओर के सभी पदों को एकत्र करते हैं:

\[\begin(संरेखित करें)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4-11; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(संरेखित करें)\]

पहले चार शब्दों में $((4)^(x))$ तत्व शामिल है - आइए इसे ब्रैकेट से बाहर निकालें:

\[\begin(संरेखित करें)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(संरेखित करें)\]

समीकरण के दोनों भागों को भिन्न $-\frac(11)(4)$ से विभाजित करना बाकी है, अर्थात। अनिवार्य रूप से उल्टे भिन्न से गुणा करें - $-\frac(4)(11)$. हम पाते हैं:

\[\begin(संरेखित करें)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right)=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(संरेखित करें)\]

बस इतना ही! हमने मूल समीकरण को सरलतम बना दिया और अंतिम उत्तर प्राप्त कर लिया।

उसी समय, हल करने की प्रक्रिया में, हमने सामान्य कारक $((4)^(x))$ की खोज की (और ब्रैकेट से बाहर भी निकाला) - यह स्थिर अभिव्यक्ति है। इसे एक नए चर के रूप में नामित किया जा सकता है, या आप इसे सटीक रूप से व्यक्त कर सकते हैं और उत्तर प्राप्त कर सकते हैं। फिर भी, मुख्य सिद्धांतसमाधान निम्नलिखित हैं:

मूल समीकरण में एक स्थिर अभिव्यक्ति खोजें जिसमें एक चर हो जिसे सभी घातीय कार्यों से आसानी से अलग किया जा सके।

अच्छी खबर यह है कि लगभग हर घातीय समीकरण ऐसी स्थिर अभिव्यक्ति को स्वीकार करता है।

लेकिन एक बुरी खबर भी है: ऐसी अभिव्यक्तियाँ बहुत पेचीदा हो सकती हैं, और उन्हें अलग करना काफी मुश्किल हो सकता है। तो आइए एक और समस्या पर नजर डालें:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

शायद अब किसी के मन में यह सवाल होगा: “पाशा, क्या तुम पत्थर हो गए हो? यहां अलग-अलग आधार हैं - 5 और 0.2। लेकिन आइए आधार 0.2 के साथ एक शक्ति को परिवर्तित करने का प्रयास करें। उदाहरण के लिए, आइए छुटकारा पाएं दशमलव अंश, इसे सामान्य स्थिति में लाना:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, संख्या 5 अभी भी दिखाई देती है, यद्यपि हर में। उसी समय, संकेतक को नकारात्मक के रूप में फिर से लिखा गया था। और अब हम डिग्री के साथ काम करने के लिए सबसे महत्वपूर्ण नियमों में से एक को याद करते हैं:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

यहाँ, निश्चित रूप से, मैंने थोड़ा धोखा दिया। क्योंकि पूर्ण समझ के लिए नकारात्मक संकेतकों से छुटकारा पाने का सूत्र इस प्रकार लिखना होगा:

( (5)^(x+1))\ ]

दूसरी ओर, किसी ने भी हमें केवल एक अंश के साथ काम करने से नहीं रोका:

= 1))\]

लेकिन इस मामले में, आपको एक डिग्री को दूसरी डिग्री तक बढ़ाने में सक्षम होने की आवश्यकता है (मैं आपको याद दिला दूं: इस मामले में, संकेतक जोड़े जाते हैं)। लेकिन मुझे भिन्नों को "फ़्लिप" नहीं करना पड़ा - शायद किसी के लिए यह आसान होगा। :)

किसी भी स्थिति में, मूल घातीय समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखा जाएगा:

\[\begin(संरेखित करें)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(संरेखित करें)\]

तो यह पता चला है कि मूल समीकरण को पहले से विचार किए गए की तुलना में हल करना और भी आसान है: यहां आपको एक स्थिर अभिव्यक्ति को एकल करने की भी आवश्यकता नहीं है - सब कुछ अपने आप कम हो गया है। यह केवल यह याद रखना बाकी है कि $1=((5)^(0))$, जहां से हमें मिलता है:

\[\begin(संरेखित करें)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(संरेखित करें)\]

यही संपूर्ण समाधान है! हमें अंतिम उत्तर मिला: $x=-2$। साथ ही, मैं एक तरकीब नोट करना चाहूंगा जिसने हमारे लिए सभी गणनाओं को बहुत सरल बना दिया:

घातीय समीकरणों में, दशमलव अंशों से छुटकारा पाना सुनिश्चित करें, उन्हें सामान्य अंशों में अनुवाद करें। यह आपको डिग्रियों के समान आधार देखने की अनुमति देगा और समाधान को बहुत सरल बना देगा।

अब आइए अधिक जटिल समीकरणों की ओर बढ़ते हैं जिनमें अलग-अलग आधार होते हैं, जो आम तौर पर शक्तियों का उपयोग करके एक-दूसरे के लिए कम नहीं होते हैं।

घातांक गुण का उपयोग करना

मैं आपको याद दिला दूं कि हमारे पास दो और विशेष रूप से कठोर समीकरण हैं:

\[\begin(संरेखित करें)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\end(संरेखित करें)\]

यहां मुख्य कठिनाई यह है कि यह स्पष्ट नहीं है कि क्या और किस आधार पर आगे बढ़ना है। कहाँ भाव सेट करें? सामान्य आधार कहां हैं? इसमें कुछ भी नहीं है.

लेकिन आइए दूसरे रास्ते पर जाने का प्रयास करें। यदि कोई तैयार समान आधार नहीं हैं, तो आप उपलब्ध आधारों का गुणनखंड करके उन्हें खोजने का प्रयास कर सकते हैं।

आइए पहले समीकरण से शुरू करें:

\[\begin(संरेखित करें)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\दायां तीर ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\cdot ((3)^(3x)). \\\end(संरेखित करें)\]

लेकिन आखिरकार, आप इसके विपरीत कर सकते हैं - संख्या 7 और 3 से संख्या 21 बनाएं। बाईं ओर ऐसा करना विशेष रूप से आसान है, क्योंकि दोनों डिग्री के संकेतक समान हैं:

\[\begin(संरेखित करें)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+6))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(संरेखित करें)\]

बस इतना ही! आपने प्रतिपादक को उत्पाद से बाहर निकाल लिया और तुरंत एक सुंदर समीकरण प्राप्त कर लिया जिसे कुछ पंक्तियों में हल किया जा सकता है।

अब दूसरे समीकरण से निपटते हैं। यहाँ सब कुछ बहुत अधिक जटिल है:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

इस मामले में, अंश अपरिवर्तनीय निकले, लेकिन यदि कुछ कम किया जा सकता है, तो इसे कम करना सुनिश्चित करें। इसके परिणामस्वरूप अक्सर दिलचस्प आधार मिलेंगे जिन पर आप पहले से ही काम कर सकते हैं।

दुर्भाग्य से, हम कुछ भी लेकर नहीं आये हैं। लेकिन हम देखते हैं कि उत्पाद में बाईं ओर के घातांक विपरीत हैं:

मैं आपको याद दिला दूं: घातांक में ऋण चिह्न से छुटकारा पाने के लिए, आपको बस भिन्न को "फ्लिप" करना होगा। तो आइए मूल समीकरण को फिर से लिखें:

\[\begin(संरेखित करें)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(संरेखित करें)\]

दूसरी पंक्ति में, हमने नियम $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x))$ के अनुसार उत्पाद से कुल को कोष्ठक में रखा, और अंतिम पंक्ति में हमने संख्या 100 को एक अंश से गुणा किया।

अब ध्यान दें कि बाईं ओर (आधार पर) और दाईं ओर की संख्याएँ कुछ हद तक समान हैं। कैसे? हाँ, जाहिर है: वे एक ही संख्या की शक्तियाँ हैं! अपने पास:

\[\begin(ign)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \right))^(2)). \\\end(संरेखित करें)\]

इस प्रकार, हमारा समीकरण इस प्रकार फिर से लिखा जाएगा:

\[(\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))\]

\[(\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

उसी समय, दाईं ओर, आप समान आधार के साथ एक डिग्री भी प्राप्त कर सकते हैं, जिसके लिए अंश को "फ्लिप" करना ही पर्याप्त है:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

अंत में, हमारा समीकरण इस प्रकार बनेगा:

\[\begin(संरेखित करें)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(संरेखित करें)\]

यही संपूर्ण समाधान है. इसका मुख्य विचार इस तथ्य पर आधारित है कि अलग-अलग कारणों से भी, हम किसी न किसी तरह से इन कारणों को एक ही तक सीमित करने का प्रयास करते हैं। इसमें हमें समीकरणों के प्राथमिक परिवर्तनों और शक्तियों के साथ काम करने के नियमों से मदद मिलती है।

लेकिन क्या नियम और कब उपयोग करना है? यह कैसे समझें कि एक समीकरण में आपको दोनों पक्षों को किसी चीज़ से विभाजित करने की आवश्यकता है, और दूसरे में - घातीय फ़ंक्शन के आधार को कारकों में विघटित करने की आवश्यकता है?

इस प्रश्न का उत्तर अनुभव के साथ आएगा। पहले सरल समीकरणों पर अपना हाथ आज़माएं, और फिर धीरे-धीरे कार्यों को जटिल बनाएं - और बहुत जल्द ही आपका कौशल उसी यूएसई या किसी स्वतंत्र/परीक्षण कार्य से किसी भी घातीय समीकरण को हल करने के लिए पर्याप्त होगा।

और इस कठिन कार्य में आपकी मदद करने के लिए, मैं एक स्वतंत्र समाधान के लिए अपनी वेबसाइट पर समीकरणों का एक सेट डाउनलोड करने का सुझाव देता हूं। सभी समीकरणों के उत्तर हैं, इसलिए आप हमेशा स्वयं जांच सकते हैं।

सामान्य तौर पर, मैं आपके सफल प्रशिक्षण की कामना करता हूं। और मिलते हैं अगले पाठ में - वहां हम वास्तव में जटिल घातीय समीकरणों का विश्लेषण करेंगे, जहां ऊपर वर्णित विधियां अब पर्याप्त नहीं हैं। और एक साधारण कसरत भी पर्याप्त नहीं होगी। :)

आज हम निपट लेंगेघातीय समीकरण.

प्राथमिक और वे दोनों जो आमतौर पर "बैकफ़िलिंग के लिए" परीक्षा में दिए जाते हैं।

सीधे परीक्षा के पिछले संस्करणों से।

हालाँकि, इस लेख को पढ़ने के बाद, ये सभी आपके लिए प्राथमिक हो जाएंगे।

क्यों?

क्योंकि जब मैं उन्हें हल करता हूँ तो आप चरण दर चरण अनुसरण कर सकते हैं कि मैं कैसे सोचता हूँ और मेरी तरह सोचना सीख सकते हैं।

जाना!

घातीय समीकरण क्या हैं

यदि आप निम्नलिखित विषयों को भूल गए हैं, तो कृपया सर्वोत्तम परिणामों के लिए दोहराना:

1. गुण और
2. समाधान और समीकरण

दोहराया गया? अद्भुत!

तब आपके लिए यह नोटिस करना कठिन नहीं होगा कि समीकरण का मूल एक संख्या है।

क्या आप वाकई समझते हैं कि मैंने यह कैसे किया? क्या यह सच है? फिर हम जारी रखते हैं।

अब मेरे प्रश्न का उत्तर दीजिये, तीसरी शक्ति के बराबर क्या है? आप बिल्कुल सही कह रहे है: ।

आठ दो की कितनी घात है? यह सही है - तीसरा! क्योंकि।

खैर, अब आइए निम्नलिखित समस्या को हल करने का प्रयास करें: मुझे संख्या को एक बार स्वयं से गुणा करने दें और परिणाम प्राप्त करें।

प्रश्न यह है कि मैंने स्वयं को कितनी बार गुणा किया है? आप निश्चित रूप से इसे सीधे जांच सकते हैं:

\begin(संरेखित) और 2=2 \\ और 2\cdot 2=4 \\ और 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ और 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end(संरेखित)

तब आप यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि मैंने खुद से कई गुना गुणा किया।

इसे और कैसे सत्यापित किया जा सकता है?

और यहां बताया गया है कि कैसे: सीधे डिग्री की परिभाषा से:।

लेकिन, आपको स्वीकार करना होगा, अगर मैंने पूछा कि प्राप्त करने के लिए दो को अपने आप से कितनी बार गुणा करना होगा, तो आप मुझे बताएंगे: मैं खुद को मूर्ख नहीं बनाऊंगा और तब तक अपने आप से गुणा नहीं करूंगा जब तक मेरा चेहरा नीला न हो जाए।

और वह बिल्कुल सही होगा. क्योंकि आप कैसे कर सकते हैं सभी कार्यों को संक्षेप में लिखें(और संक्षिप्तता प्रतिभा की बहन है)

कहाँ - यह वही है "समय"जब आप स्वयं से गुणा करते हैं.

मुझे लगता है कि आप जानते हैं (और यदि आप नहीं जानते हैं, तो तत्काल, बहुत तत्काल डिग्रियां दोहराएं!) तो मेरी समस्या इस रूप में लिखी जाएगी:

आप तर्कसंगत रूप से यह निष्कर्ष कैसे निकाल सकते हैं:

तो, चुपचाप, मैंने सबसे सरल लिख दिया घातीय समीकरण:

और मिल भी गया जड़. क्या आपको नहीं लगता कि सब कुछ बहुत मामूली है? बिल्कुल यही मैं भी सोचता हूं.

यहां आपके लिए एक और उदाहरण है:

पर क्या करूँ!

आख़िरकार, इसे किसी (उचित) संख्या की डिग्री के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।

आइए निराश न हों और ध्यान दें कि ये दोनों संख्याएँ एक ही संख्या की शक्ति के संदर्भ में पूरी तरह से व्यक्त की गई हैं।

फिर मूल समीकरण इस रूप में परिवर्तित हो जाता है:

जहाँ से, जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, .

आइए अब और न खींचें और लिखें परिभाषा:

आपके साथ हमारे मामले में: .

इन समीकरणों को निम्न रूप में घटाकर हल किया जाता है:

समीकरण के बाद के समाधान के साथ

वास्तव में, हमने पिछले उदाहरण में ऐसा किया था: हमें वह मिल गया। और हमने आपके साथ सबसे सरल समीकरण हल किया।

ऐसा लगता है कि इसमें कुछ भी जटिल नहीं है, है ना? आइए पहले सबसे सरल पर अभ्यास करें। उदाहरण:

हम फिर से देखते हैं कि समीकरण के दाएं और बाएं पक्षों को एक संख्या की घात के रूप में दर्शाया जाना चाहिए।

सच है, यह बाईं ओर पहले ही किया जा चुका है, लेकिन दाईं ओर एक संख्या है।

लेकिन, आख़िरकार यह ठीक है, और मेरा समीकरण चमत्कारिक रूप से इसमें बदल जाता है:

मुझे यहाँ क्या करना था? कौन सा नियम?

पावर टू पावर नियमजो पढ़ता है:

क्या हो अगर:

इस प्रश्न का उत्तर देने से पहले, आइए आपके साथ निम्नलिखित तालिका भरें:

हमारे लिए यह नोटिस करना मुश्किल नहीं है कि मूल्य जितना छोटा होगा, मूल्य उतना ही कम होगा, लेकिन फिर भी, ये सभी मूल्य शून्य से अधिक हैं।

और यह हमेशा ऐसा ही रहेगा!!!

वही गुण किसी भी सूचकांक वाले किसी भी आधार के लिए सत्य है!! (किसी के लिए और)।

तो फिर हम समीकरण के बारे में क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?

और यहाँ एक है: यह कोई जड़ नहीं है! ठीक वैसे ही जैसे किसी भी समीकरण की कोई जड़ नहीं होती.

आइए अब अभ्यास करें और आइए कुछ सरल उदाहरण हल करें:

की जाँच करें:

1. यहां आपसे डिग्री के गुणों के ज्ञान के अलावा कुछ भी आवश्यक नहीं है (जो, वैसे, मैंने आपको दोहराने के लिए कहा था!)

एक नियम के रूप में, सभी सबसे छोटे आधार की ओर ले जाते हैं: , .

तब मूल समीकरण निम्नलिखित के बराबर होगा:

मुझे बस डिग्री के गुणों का उपयोग करना है:

संख्याओं को समान आधार से गुणा करते समय घातांक जोड़े जाते हैं और विभाजित करते समय उन्हें घटाया जाता है।

तब मुझे मिलेगा:

खैर, अब, स्पष्ट विवेक के साथ, मैं एक घातीय समीकरण से एक रैखिक समीकरण की ओर बढ़ूंगा: \begin(संरेखित)
और 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
और 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(संरेखित करें)

2. दूसरे उदाहरण में, आपको अधिक सावधान रहने की आवश्यकता है: समस्या यह है कि बाईं ओर, हम उसी संख्या को एक घात के रूप में प्रस्तुत नहीं कर पाएंगे।

ऐसे में यह कभी-कभी उपयोगी होता है विभिन्न आधारों वाली घातों के गुणनफल के रूप में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करें, लेकिन घातांक समान हों:

समीकरण का बायाँ भाग इस प्रकार बनेगा:

इसने हमें क्या दिया?

और यहाँ क्या है: विभिन्न आधारों वाली लेकिन समान घातांक वाली संख्याओं को गुणा किया जा सकता है।इस मामले में, आधारों को गुणा किया जाता है, लेकिन घातांक नहीं बदलता है:

मेरी स्थिति पर लागू, यह देगा:

\शुरू(संरेखित करें)
और 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400, \\
और 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
और ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
और ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(संरेखित करें)

बुरा नहीं है, है ना?

3. मुझे यह पसंद नहीं है जब समीकरण के एक तरफ दो पद होते हैं, और दूसरी तरफ कोई नहीं (कभी-कभी, निश्चित रूप से, यह उचित है, लेकिन अब ऐसा नहीं है)।

ऋणात्मक पद को दाईं ओर ले जाएँ:

अब, पहले की तरह, मैं त्रिगुण की शक्तियों के माध्यम से सब कुछ लिखूंगा:

मैं बाईं ओर की शक्तियों को जोड़ता हूं और एक समतुल्य समीकरण प्राप्त करता हूं

आप इसकी जड़ आसानी से पा सकते हैं:

4. जैसा कि उदाहरण तीन में है, ऋण के साथ पद - दाहिनी ओर एक स्थान!

बाईं ओर, मेरे साथ लगभग सब कुछ ठीक है, सिवाय इसके कि क्या?

हां, ड्यूस की "गलत डिग्री" मुझे परेशान करती है। लेकिन मैं इसे लिखकर आसानी से ठीक कर सकता हूं:।

यूरेका - बाईं ओर, सभी आधार अलग-अलग हैं, लेकिन सभी डिग्री समान हैं! हम तेजी से बढ़ते हैं!

यहां, फिर से, सब कुछ स्पष्ट है: (यदि आप यह नहीं समझते हैं कि मुझे आखिरी समानता कितनी जादुई तरीके से मिली, तो एक मिनट के लिए ब्रेक लें, ब्रेक लें और डिग्री के गुणों को फिर से बहुत ध्यान से पढ़ें।

किसने कहा कि आप नकारात्मक अंक वाली डिग्री छोड़ सकते हैं? खैर, यहाँ मैं उसी चीज़ के बारे में हूँ जो कोई नहीं)। अब मुझे मिलेगा:

\शुरू(संरेखित करें)
& ((2)^(4\left((x) -9 \right)))=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\end(संरेखित करें)

प्रशिक्षण के लिए अधिक घातीय समीकरण

यहां आपके अभ्यास के लिए कार्य दिए गए हैं, जिनका मैं केवल उत्तर दूंगा (लेकिन "मिश्रित" रूप में)। उन्हें हल करें, जांचें, और हम अपना शोध जारी रखेंगे!

तैयार? जवाबइन जैसे:

1. कोई संख्या

ठीक है, ठीक है, मैं मज़ाक कर रहा था! यहां समाधानों की रूपरेखा दी गई है (कुछ काफी संक्षिप्त हैं!)

क्या आपको नहीं लगता कि यह कोई संयोग नहीं है कि बायीं ओर का एक अंश दूसरा "उलटा" है? इसका उपयोग न करना पाप होगा:

घातांकीय समीकरणों को हल करते समय इस नियम का प्रयोग अक्सर किया जाता है, इसे अच्छी तरह याद रखें!

तब मूल समीकरण बन जाता है:

इसका समाधान कर रहे हैं द्विघात समीकरण, आपको निम्नलिखित जड़ें मिलेंगी:

2. दूसरा समाधान: समीकरण के दोनों भागों को बाएँ (या दाएँ) व्यंजक द्वारा विभाजित करना।

मैं दाहिनी ओर जो है उससे भाग दूँगा, फिर मुझे प्राप्त होगा:

कहाँ क्यों?!)

3. मैं खुद को दोहराना भी नहीं चाहता, सब कुछ पहले ही इतना "चबाया" जा चुका है।

4. द्विघात समीकरण के समतुल्य, मूल

5. आपको पहले कार्य में दिए गए फॉर्मूले का उपयोग करना होगा, फिर आपको वह मिलेगा:

समीकरण एक तुच्छ पहचान में बदल गया है, जो किसी के लिए भी सच है। तो उत्तर कोई भी वास्तविक संख्या है।

खैर, आप यहां हैं और निर्णय लेने का अभ्यास कर चुके हैं सबसे सरल घातीय समीकरण.

घातीय समीकरणों को हल करने के वास्तविक जीवन के उदाहरण

अब मैं आपको कुछ जीवन उदाहरण देना चाहता हूं जो आपको यह समझने में मदद करेंगे कि सिद्धांत रूप में उनकी आवश्यकता क्यों है।

उदाहरण 1 (व्यापारिक)

मान लीजिए आपके पास रूबल हैं, लेकिन आप इसे रूबल में बदलना चाहते हैं।

बैंक आपको ब्याज के मासिक पूंजीकरण (मासिक संचय) के साथ वार्षिक ब्याज दर पर यह पैसा लेने की पेशकश करता है।

सवाल यह है कि वांछित अंतिम राशि एकत्र करने के लिए आपको कितने महीनों के लिए जमा राशि खोलने की आवश्यकता है?

बहुत साधारण काम है, है ना?

फिर भी, इसका समाधान संबंधित घातीय समीकरण के निर्माण से जुड़ा हुआ है: चलो - प्रारंभिक राशि, - अंतिम राशि, - अवधि के लिए ब्याज दर, - अवधि की संख्या।

हमारे मामले में (यदि दर वार्षिक है, तो इसकी गणना प्रति माह की जाती है)।

इसे किस प्रकार विभाजित किया गया है? यदि आप इस प्रश्न का उत्तर नहीं जानते हैं, तो विषय "" याद रखें!

तब हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:

इस घातीय समीकरण को पहले से ही केवल एक कैलकुलेटर के साथ हल किया जा सकता है (इसकी उपस्थिति इस पर संकेत देती है, और इसके लिए लघुगणक के ज्ञान की आवश्यकता होती है, जिसके बारे में हमें थोड़ी देर बाद पता चलेगा), जो मैं करूंगा: ...

इस प्रकार, एक मिलियन प्राप्त करने के लिए, हमें एक महीने के लिए जमा करना होगा (बहुत तेज़ नहीं, है ना?)।

उदाहरण 2 (नियमित रूप से परीक्षा में पकड़े जाते हैं!! - कार्य "वास्तविक" संस्करण से लिया गया है)

रेडियोधर्मी आइसोटोप के क्षय के दौरान, इसका द्रव्यमान कानून के अनुसार घटता है, जहां (मिलीग्राम) आइसोटोप का प्रारंभिक द्रव्यमान है, (मिनट) प्रारंभिक क्षण से बीता हुआ समय है, (मिनट) आधा जीवन है।

समय के प्रारंभिक क्षण में, आइसोटोप का द्रव्यमान mg है। इसका आधा जीवन न्यूनतम है। कितने मिनट में आइसोटोप का द्रव्यमान mg के बराबर होगा?

यह ठीक है: हम बस हमारे लिए प्रस्तावित सूत्र में सभी डेटा लेते हैं और प्रतिस्थापित करते हैं:

आइए दोनों भागों को "इस आशा में" विभाजित करें कि बाईं ओर हमें कुछ सुपाच्य मिलेगा:

खैर, हम बहुत भाग्यशाली हैं! यह बाईं ओर है, तो चलिए समतुल्य समीकरण पर चलते हैं:

कहाँ मि.

जैसा कि आप देख सकते हैं, घातीय समीकरणों का व्यवहार में बहुत वास्तविक अनुप्रयोग होता है।

अब मैं आपके साथ एक और (सरल) तरीका साझा करना चाहता हूं...

सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालने के आधार पर घातांकीय समीकरणों को हल करना, उसके बाद पदों को समूहीकृत करना।

मेरे शब्दों से डरो मत, आप इस पद्धति का सामना 7वीं कक्षा में पहले ही कर चुके हैं जब आपने बहुपदों का अध्ययन किया था। उदाहरण के लिए, यदि आपको आवश्यकता हो:

आइए समूह बनाएं: पहला और तीसरा पद, साथ ही दूसरा और चौथा।

यह स्पष्ट है कि पहले और तीसरे वर्गों का अंतर है:

और दूसरे और चौथे में तीन का एक सामान्य गुणनखंड है:

तब मूल अभिव्यक्ति इसके समतुल्य है:

सामान्य कारक को कहाँ से निकालना अब कठिन नहीं है:

इस तरह,

घातीय समीकरणों को हल करते समय हम लगभग इसी तरह कार्य करेंगे: पदों के बीच "समानता" की तलाश करें और इसे कोष्ठक से बाहर निकालें, और फिर - चाहे कुछ भी हो, मुझे विश्वास है कि हम भाग्यशाली होंगे =))

उदाहरण 1

दाईं ओर सात की शक्ति से बहुत दूर है (मैंने जाँच की!) और बाईं ओर - थोड़ा बेहतर, आप निश्चित रूप से, पहले पद से और दूसरे से कारक को "काट" सकते हैं, और फिर जो आपने प्राप्त किया है उससे निपट सकते हैं, लेकिन आइए आपके साथ अधिक विवेकपूर्ण व्यवहार करें।

मैं उन अंशों से निपटना नहीं चाहता जो अनिवार्य रूप से "चयन" द्वारा उत्पन्न होते हैं, तो क्या मुझे सहना बेहतर नहीं होगा?

तब मेरे पास अंश नहीं होंगे: जैसा कि वे कहते हैं, भेड़िये भरे हुए हैं और भेड़ें सुरक्षित हैं:

अभिव्यक्ति को कोष्ठक में गिनें। जादुई ढंग से, जादुई ढंग से, यह पता चलता है कि (आश्चर्य की बात है, हालाँकि हम और क्या उम्मीद कर सकते हैं?)।

फिर हम समीकरण के दोनों पक्षों को इस कारक से कम करते हैं। हमें मिलता है: कहाँ।

यहां एक अधिक जटिल उदाहरण है (वास्तव में थोड़ा सा):

यहाँ परेशानी है! हमारे यहां कोई साझा आधार नहीं है! यह पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है कि अब क्या करना है. और आइए वह करें जो हम कर सकते हैं: सबसे पहले, हम "चार" को एक दिशा में ले जाएंगे, और "पांच" को दूसरी दिशा में:

आइए अब बाएँ और दाएँ से "सामान्य" निकालें:

तो अब क्या? ऐसी मूर्खतापूर्ण गुटबाजी का क्या लाभ? पहली नज़र में तो यह बिल्कुल भी दिखाई नहीं देता है, लेकिन आइए गहराई से देखें:

खैर, अब इसे ऐसा बनाएं कि बाईं ओर हमारे पास केवल अभिव्यक्ति सी हो, और दाईं ओर - बाकी सब कुछ। हम ऐसा कैसे कर सकते हैं? और यहां बताया गया है कि कैसे: पहले समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित करें (ताकि हम दाईं ओर के घातांक से छुटकारा पा सकें), और फिर दोनों पक्षों को इससे विभाजित करें (ताकि हम बाईं ओर के संख्यात्मक कारक से छुटकारा पा सकें)। अंततः हमें मिलता है:

अविश्वसनीय! बाईं ओर हमारे पास एक अभिव्यक्ति है, और दाईं ओर - बस।

तब हम तुरंत यह निष्कर्ष निकालते हैं

उदाहरण #2

मैं उसका संक्षिप्त समाधान दूंगा (वास्तव में समझाने की जहमत नहीं उठाऊंगा), समाधान की सभी "सूक्ष्मताओं" को स्वयं समझने का प्रयास करूंगा।

अब कवर की गई सामग्री का अंतिम समेकन। निम्नलिखित समस्याओं को स्वयं हल करने का प्रयास करें।

1. आइए सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालें:
2. हम पहली अभिव्यक्ति को इस रूप में निरूपित करते हैं: , दोनों भागों को इससे विभाजित करें और वह प्राप्त करें
3. , फिर मूल समीकरण को इस रूप में परिवर्तित कर दिया जाता है: खैर, अब एक संकेत - देखें कि आपने और मैंने पहले ही इस समीकरण को कहाँ हल कर लिया है!
4. कल्पना करें कि कैसे, कैसे, आह, अच्छा, फिर दोनों भागों को विभाजित करें, ताकि आपको सबसे सरल घातीय समीकरण प्राप्त हो।
5. इसे कोष्ठक से बाहर निकालें.
6. इसे कोष्ठक से बाहर निकालें.

घातांकीय समीकरण. औसत स्तर

मैं यह मान रहा हूं कि पहला लेख पढ़ने के बाद, जिसमें बताया गया था घातांकीय समीकरण क्या हैं और उन्हें कैसे हल करें, आपने सरलतम उदाहरणों को हल करने के लिए आवश्यक न्यूनतम ज्ञान में महारत हासिल कर ली है।

अब मैं घातीय समीकरणों को हल करने के लिए एक और विधि का विश्लेषण करूंगा, यह है...

एक नया चर (या प्रतिस्थापन) प्रस्तुत करने की विधि

वह घातीय समीकरणों (और केवल समीकरण ही नहीं) के विषय पर अधिकांश "कठिन" समस्याओं को हल करता है।

यह विधि एक है व्यवहार में सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।सबसे पहले, मेरा सुझाव है कि आप विषय से स्वयं को परिचित कर लें।

जैसा कि आप पहले ही नाम से समझ चुके हैं, इस पद्धति का सार चर में ऐसा परिवर्तन लाना है कि आपका घातीय समीकरण चमत्कारिक रूप से एक ऐसे समीकरण में बदल जाएगा जिसे आप पहले से ही आसानी से हल कर सकते हैं।

इस "सरलीकृत समीकरण" को हल करने के बाद आपके लिए जो कुछ बचता है वह है "रिवर्स प्रतिस्थापन" करना: यानी, प्रतिस्थापित से प्रतिस्थापित पर लौटना।

आइए एक बहुत ही सरल उदाहरण से स्पष्ट करें कि हमने अभी क्या कहा:

उदाहरण 1: सरल प्रतिस्थापन विधि

इस समीकरण को हल किया गया है "सरल प्रतिस्थापन", जैसा कि गणितज्ञ इसे अपमानजनक रूप से कहते हैं।

दरअसल, यहां प्रतिस्थापन सबसे स्पष्ट है। बस यही देखने की जरूरत है

तब मूल समीकरण बन जाता है:

यदि हम अतिरिक्त रूप से कल्पना करें कि कैसे, तो यह बिल्कुल स्पष्ट है कि क्या प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है: बेशक,। फिर मूल समीकरण क्या बनता है? और यहाँ क्या है:

आप स्वयं ही इसकी जड़ें आसानी से पा सकते हैं:.

अब क्या करें?

मूल चर पर लौटने का समय आ गया है।

मैं क्या शामिल करना भूल गया? अर्थात्: जब एक निश्चित डिग्री को एक नए चर के साथ प्रतिस्थापित किया जाता है (अर्थात, एक प्रकार को प्रतिस्थापित करते समय), तो मुझे इसमें दिलचस्पी होगी केवल सकारात्मक जड़ें!

आप इसका उत्तर आसानी से दे सकते हैं कि क्यों।

इस प्रकार, हमें आप में कोई दिलचस्पी नहीं है, लेकिन दूसरी जड़ हमारे लिए काफी उपयुक्त है:

तब कहां।

उत्तर:

जैसा कि आप देख सकते हैं, पिछले उदाहरण में, प्रतिस्थापन ने केवल हमसे हाथ माँगा था। दुर्भाग्य से ऐसा हमेशा नहीं होता है।

हालाँकि, आइए सीधे दुख की ओर न बढ़ें, बल्कि काफी सरल प्रतिस्थापन के साथ एक और उदाहरण पर अभ्यास करें

उदाहरण 2: सरल प्रतिस्थापन विधि

यह स्पष्ट है कि सबसे अधिक संभावना है कि इसे प्रतिस्थापित करना आवश्यक होगा (यह हमारे समीकरण में शामिल शक्तियों में से सबसे छोटी है)।

हालाँकि, प्रतिस्थापन शुरू करने से पहले, हमारे समीकरण को इसके लिए "तैयार" करने की आवश्यकता है, अर्थात्: , ।

फिर आप प्रतिस्थापित कर सकते हैं, परिणामस्वरूप मुझे निम्नलिखित अभिव्यक्ति मिलेगी:

हाय भगवान्: घन समीकरणइसे हल करने के लिए बिल्कुल भयानक फ़ार्मुलों के साथ (ठीक है, सामान्य शब्दों में कहें तो)। लेकिन आइए तुरंत निराश न हों, बल्कि सोचें कि हमें क्या करना चाहिए।

मैं धोखा देने का सुझाव दूंगा: हम जानते हैं कि "सुंदर" उत्तर पाने के लिए, हमें तीन की कुछ शक्ति प्राप्त करने की आवश्यकता है (ऐसा क्यों होगा, हुह?)।

और आइए हमारे समीकरण के कम से कम एक मूल का अनुमान लगाने का प्रयास करें (मैं तीन की घातों से अनुमान लगाना शुरू करूंगा)।

पहला अनुमान. जड़ नहीं है. अफ़सोस और आह...

.
बायां भाग बराबर है.
दायां भाग : !

खाना! पहली जड़ का अनुमान लगाया. अब चीजें होंगी आसान!

क्या आप "कोने" विभाजन योजना के बारे में जानते हैं? निःसंदेह आप जानते हैं, आप इसका उपयोग तब करते हैं जब आप एक संख्या को दूसरे से विभाजित करते हैं। लेकिन कम ही लोग जानते हैं कि बहुपदों के साथ भी ऐसा ही किया जा सकता है।

एक अद्भुत प्रमेय है:

मेरी स्थिति पर लागू होकर यह मुझे बताता है कि शेषफल के बिना किससे विभाज्य है।

विभाजन कैसे किया जाता है? कि कैसे:

मैं देखता हूं कि स्पष्ट पाने के लिए मुझे किस एकपदी को गुणा करना चाहिए, फिर:

मैं परिणामी अभिव्यक्ति को घटाता हूं, मुझे मिलता है:

अब, मुझे क्या पाने के लिए गुणा करने की आवश्यकता है? यह स्पष्ट है कि तब मुझे मिलेगा:

और फिर से परिणामी अभिव्यक्ति को शेष एक से घटाएं:

खैर, अंतिम चरण में, मैं शेष अभिव्यक्ति से गुणा करता हूं और घटाता हूं:

हुर्रे, विभाजन ख़त्म हो गया! हमने अकेले में क्या जमा किया है? अपने आप में: ।

तब हमें मूल बहुपद का निम्नलिखित विस्तार मिला:

आइए दूसरा समीकरण हल करें:

इसकी जड़ें हैं:

फिर मूल समीकरण:

इसकी तीन जड़ें हैं:

निःसंदेह, हम अंतिम मूल को त्याग देते हैं, क्योंकि यह शून्य से कम है। और रिवर्स प्रतिस्थापन के बाद पहले दो हमें दो जड़ें देंगे:

उत्तर: ..

इस उदाहरण से मेरा इरादा आपको डराने का नहीं था!

बल्कि, इसके विपरीत, मैं यह दिखाने के लिए निकला था कि यद्यपि हमारे पास काफी सरल प्रतिस्थापन था, फिर भी, इसने एक जटिल समीकरण को जन्म दिया, जिसके समाधान के लिए हमसे कुछ विशेष कौशल की आवश्यकता थी।

खैर, इससे कोई भी अछूता नहीं है. लेकिन इस मामले में बदलाव बिल्कुल स्पष्ट था।

कम स्पष्ट प्रतिस्थापन के साथ उदाहरण #3:

यह बिल्कुल स्पष्ट नहीं है कि हमें क्या करना चाहिए: समस्या यह है कि हमारे समीकरण में दो अलग-अलग आधार हैं और एक आधार को दूसरे से किसी भी (उचित, स्वाभाविक रूप से) शक्ति तक बढ़ाकर प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

हालाँकि, हम क्या देखते हैं?

दोनों आधार केवल चिह्न में भिन्न हैं, और उनका गुणनफल एक के बराबर वर्गों का अंतर है:

परिभाषा:

इस प्रकार, हमारे उदाहरण में जो संख्याएँ आधार हैं वे संयुग्मी हैं।

उस स्थिति में, स्मार्ट कदम होगा समीकरण के दोनों पक्षों को संयुग्म संख्या से गुणा करें।

उदाहरण के लिए, तब समीकरण का बायां पक्ष बराबर हो जाएगा और दायां पक्ष बराबर हो जाएगा। यदि हम प्रतिस्थापन करते हैं, तो आपके साथ हमारा मूल समीकरण इस प्रकार बन जाएगा:

तो फिर, इसकी जड़ें हैं, लेकिन उसे याद रखने पर, हमें वह मिल जाता है।

उत्तर: , ।

एक नियम के रूप में, प्रतिस्थापन विधि अधिकांश "स्कूल" घातीय समीकरणों को हल करने के लिए पर्याप्त है।

अगले कार्य अग्रवर्ती स्तरकठिनाइयाँ परीक्षा के विकल्पों से ली जाती हैं।

परीक्षा विकल्पों में से बढ़ी हुई जटिलता के कार्य

आप पहले से ही इतने साक्षर हैं कि इन उदाहरणों को स्वयं हल कर सकें। मैं केवल आवश्यक प्रतिस्थापन ही दूँगा।

1. प्रश्न हल करें:
2. समीकरण की जड़ें खोजें:
3. प्रश्न हल करें: । इस समीकरण की सभी जड़ें खोजें जो खंड से संबंधित हैं:

अब कुछ त्वरित स्पष्टीकरणों और उत्तरों के लिए:

समीकरण #1.

यहां यह नोट करना पर्याप्त है कि और।

तब मूल समीकरण इसके बराबर होगा:

इस समीकरण को प्रतिस्थापित करके हल किया जाता है

निम्नलिखित गणनाएँ स्वयं करें. अंत में, आपका कार्य सरलतम त्रिकोणमिति (साइन या कोसाइन के आधार पर) को हल करने तक सीमित हो जाएगा। हम अन्य अनुभागों में ऐसे उदाहरणों के समाधान पर चर्चा करेंगे।

समीकरण #2.

यहां आप प्रतिस्थापन के बिना भी काम कर सकते हैं: बस सबट्रेंड को दाईं ओर ले जाएं और दोनों आधारों को दो की शक्तियों के माध्यम से निरूपित करें: और फिर तुरंत द्विघात समीकरण पर जाएं।

समीकरण #3

इसे भी काफी मानक तरीके से हल किया जाता है: कल्पना करें कैसे।

फिर, प्रतिस्थापित करने पर हमें एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: फिर,

क्या आप पहले से ही जानते हैं कि लघुगणक क्या है? नहीं? तो तुरंत विषय पढ़ें!

पहली जड़, जाहिर है, खंड से संबंधित नहीं है, और दूसरी समझ से बाहर है! लेकिन हम जल्द ही पता लगा लेंगे! चूँकि, तब (यह लघुगणक का गुण है!) आइए तुलना करें:

दोनों भागों से घटाएँ, तो हमें प्राप्त होता है:

बाईं ओर को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

दोनों पक्षों को इससे गुणा करें:

तब से गुणा किया जा सकता है

तो फिर आइए तुलना करें:

के बाद से:

फिर दूसरा मूल वांछित अंतराल का है

उत्तर:

जैसा कि आप देख रहे हैं, घातांकीय समीकरणों के मूलों के चयन के लिए लघुगणक के गुणों के काफी गहरे ज्ञान की आवश्यकता होती है, इसलिए मैं आपको सलाह देता हूं कि घातांकीय समीकरणों को हल करते समय यथासंभव सावधान रहें।

जैसा कि आप जानते हैं, गणित में सब कुछ आपस में जुड़ा हुआ है! जैसा कि मेरे गणित शिक्षक कहा करते थे: "आप गणित को इतिहास की तरह रातों-रात नहीं पढ़ सकते।"

एक नियम के रूप में, सभी समस्या C1 को हल करने में कठिनाई वास्तव में समीकरण की जड़ों का चयन है।

एक और अभ्यास उदाहरण

यह स्पष्ट है कि समीकरण स्वयं ही काफी सरलता से हल हो गया है। प्रतिस्थापन करने के बाद, हम अपने मूल समीकरण को घटाकर निम्नलिखित कर देते हैं:

सबसे पहले, आइए विचार करें पहली जड़.

तुलना करें और: तब से। (लघुगणकीय फ़ंक्शन की संपत्ति, पर)।

तब यह स्पष्ट है कि पहली जड़ भी हमारे अंतराल से संबंधित नहीं है।

अब दूसरा मूल: . यह स्पष्ट है कि (चूँकि कार्य बढ़ रहा है)।

यह तुलना करना बाकी है और

तब से, तब से, एक ही समय में।

इस प्रकार, मैं और के बीच "एक खूंटी गाड़" सकता हूं।

यह खूंटी एक संख्या है. पहला भाव इससे छोटा है और दूसरा इससे बड़ा है।

तब दूसरा व्यंजक पहले से बड़ा है और मूल अंतराल से संबंधित है।

उत्तर: ।

अंत में, आइए समीकरण के एक और उदाहरण पर विचार करें जहां प्रतिस्थापन गैर-मानक है

गैर-मानक प्रतिस्थापन वाले समीकरण का एक उदाहरण!

आइए तुरंत शुरू करें कि आप क्या कर सकते हैं, और क्या - सिद्धांत रूप में, आप कर सकते हैं, लेकिन ऐसा न करना ही बेहतर है।

यह संभव है - तीन, दो और छह की शक्तियों के माध्यम से हर चीज का प्रतिनिधित्व करना। यह कहाँ ले जाता है?

हां, और इससे कुछ भी हासिल नहीं होगा: डिग्रियों का ढेर, जिनमें से कुछ से छुटकारा पाना काफी मुश्किल होगा।

फिर क्या जरूरत है?

आइए ध्यान दें कि ए

और यह हमें क्या देगा? और तथ्य यह है कि हम इस उदाहरण के समाधान को काफी सरल घातीय समीकरण के समाधान तक कम कर सकते हैं!

सबसे पहले, आइए अपने समीकरण को इस प्रकार पुनः लिखें:

अब हम परिणामी समीकरण के दोनों पक्षों को इसमें विभाजित करते हैं:

यूरेका! अब हम प्रतिस्थापित कर सकते हैं, हमें मिलता है:

खैर, अब प्रदर्शन के लिए समस्याओं को हल करने की आपकी बारी है, और मैं उन्हें केवल संक्षिप्त टिप्पणियाँ दूँगा ताकि आप भटक न जाएँ! आपको कामयाबी मिले!

1. सबसे कठिन! यहाँ किसी प्रतिस्थापन को देखना ओह, कितना बदसूरत है! फिर भी, इस उदाहरण का उपयोग करके पूरी तरह से हल किया जा सकता है पूर्ण वर्ग का चयन. इसे हल करने के लिए, यह नोट करना पर्याप्त है:

तो यहाँ आपका प्रतिस्थापन है:

(ध्यान दें कि यहां, हमारे प्रतिस्थापन के साथ, हम नकारात्मक जड़ को नहीं हटा सकते!!! और क्यों, आप क्या सोचते हैं?)

अब, उदाहरण को हल करने के लिए, आपको दो समीकरण हल करने होंगे:

इन दोनों को "मानक प्रतिस्थापन" द्वारा हल किया गया है (लेकिन एक उदाहरण में दूसरा!)

2. उस पर ध्यान दें और एक प्रतिस्थापन करें।

3. संख्या को सहअभाज्य गुणनखंडों में विस्तारित करें और परिणामी अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

4. भिन्न के अंश और हर को (या यदि आप चाहें) से विभाजित करें और प्रतिस्थापन करें या।

5. ध्यान दें कि संख्याएँ संयुग्मी हैं।

लघुगणक विधि द्वारा घातीय समीकरणों का समाधान। अग्रवर्ती स्तर

इसके अलावा आइए एक और तरीका देखें - लघुगणक विधि द्वारा घातांकीय समीकरणों का समाधान.

मैं यह नहीं कह सकता कि इस पद्धति द्वारा घातांकीय समीकरणों का समाधान बहुत लोकप्रिय है, लेकिन कुछ मामलों में ही यह हमें हमारे समीकरण के सही समाधान तक ले जा सकता है।

विशेष रूप से अक्सर इसका उपयोग तथाकथित "को हल करने के लिए किया जाता है" मिश्रित समीकरण': अर्थात वे, जहां विभिन्न प्रकार के कार्य होते हैं।

उदाहरण के लिए, एक समीकरण जैसे:

सामान्य स्थिति में, इसे केवल दोनों भागों का लघुगणक लेकर (उदाहरण के लिए, आधार द्वारा) हल किया जा सकता है, जिसमें मूल समीकरण निम्नलिखित में बदल जाता है:

आइए निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें:

यह स्पष्ट है कि हम केवल लघुगणकीय फ़ंक्शन के ODZ में रुचि रखते हैं। हालाँकि, यह न केवल लघुगणक के ODZ से होता है, बल्कि किसी अन्य कारण से भी होता है। मुझे लगता है कि आपके लिए यह अनुमान लगाना मुश्किल नहीं होगा कि कौन सा है।

आइए हमारे समीकरण के दोनों पक्षों के लघुगणक को आधार पर लें:

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारे मूल समीकरण का लघुगणक लेने से हम तुरंत सही (और सुंदर!) उत्तर पर पहुंच गए।

आइए एक अन्य उदाहरण के साथ अभ्यास करें:

यहां भी, चिंता की कोई बात नहीं है: हम आधार के संदर्भ में समीकरण के दोनों पक्षों का लघुगणक लेते हैं, फिर हमें मिलता है:

आइए एक प्रतिस्थापन करें:

हालाँकि, हम कुछ चूक गए! क्या आपने ध्यान दिया कि मैंने कहाँ गलती की? आख़िरकार, तो:

जो आवश्यकता को पूरा नहीं करता (सोचें कि यह कहाँ से आया है!)

उत्तर:

नीचे दिए गए घातीय समीकरणों का हल लिखने का प्रयास करें:

अब इसके साथ अपना समाधान जांचें:

1. हम दोनों भागों को आधार पर लघुगणक करते हैं, यह देखते हुए:

(प्रतिस्थापन के कारण दूसरा रूट हमारे लिए उपयुक्त नहीं है)

2. आधार का लघुगणक:

आइए परिणामी अभिव्यक्ति को निम्नलिखित रूप में बदलें:

घातांकीय समीकरण. संक्षिप्त विवरण और बुनियादी सूत्र

घातीय समीकरण

समीकरण टाइप करें:

बुलाया सबसे सरल घातीय समीकरण.

डिग्री गुण

समाधान दृष्टिकोण

• एक ही आधार पर कमी
• एक ही घातांक में कमी
• परिवर्तनीय प्रतिस्थापन
• व्यंजक को सरल कीजिए और उपरोक्त में से कोई एक लागू कीजिए।

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घातीय समीकरण क्या है? उदाहरण।

तो, एक घातीय समीकरण... विभिन्न प्रकार के समीकरणों की हमारी सामान्य प्रदर्शनी में एक नया अनूठा प्रदर्शन!) जैसा कि लगभग हमेशा होता है, किसी भी नए गणितीय शब्द का कीवर्ड संबंधित विशेषण होता है जो इसे चित्रित करता है। तो यहाँ भी. "घातांकीय समीकरण" शब्द में मुख्य शब्द शब्द है "प्रदर्शनात्मक". इसका मतलब क्या है? इस शब्द का अर्थ है कि अज्ञात (x) है किसी भी डिग्री के संदर्भ में.और केवल वहाँ! यह अत्यंत महत्वपूर्ण है.

उदाहरण के लिए, ये सरल समीकरण:

3 x +1 = 81

5x + 5x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

या ये राक्षस भी:

2 पाप x = 0.5

मैं आपसे तुरंत एक महत्वपूर्ण बात पर ध्यान देने के लिए कहता हूं: में मैदानडिग्री (नीचे) - केवल संख्याएँ. लेकिन में संकेतकडिग्री (शीर्ष) - एक्स के साथ अभिव्यक्ति की एक विस्तृत विविधता। बिल्कुल कोई भी।) सब कुछ विशिष्ट समीकरण पर निर्भर करता है। यदि, अचानक, सूचक के अलावा, कहीं और समीकरण में x आता है (मान लीजिए, 3 x \u003d 18 + x 2), तो ऐसा समीकरण पहले से ही एक समीकरण होगा मिश्रित प्रकार. ऐसे समीकरणों को हल करने के स्पष्ट नियम नहीं होते हैं। इसलिए, इस पाठ में हम उन पर विचार नहीं करेंगे। छात्रों की खुशी के लिए।) यहां हम केवल "शुद्ध" रूप में घातीय समीकरणों पर विचार करेंगे।

सामान्यतया, शुद्ध घातीय समीकरण भी सभी मामलों में स्पष्ट रूप से हल नहीं होते हैं और हमेशा नहीं। लेकिन घातीय समीकरणों की समृद्ध विविधता के बीच, कुछ ऐसे प्रकार हैं जिन्हें हल किया जा सकता है और हल किया जाना चाहिए। इस प्रकार के समीकरणों पर हम आपके साथ विचार करेंगे। और हम निश्चित रूप से उदाहरणों को हल करेंगे।) तो हम आराम से बैठ जाते हैं और - सड़क पर! कंप्यूटर "शूटर्स" की तरह, हमारी यात्रा स्तरों से होकर गुजरेगी।) प्राथमिक से सरल, सरल से मध्यम और मध्यम से जटिल तक। रास्ते में, आप एक गुप्त स्तर की भी प्रतीक्षा कर रहे होंगे - गैर-मानक उदाहरणों को हल करने के लिए तरकीबें और तरीके। जिनके बारे में आप अधिकांश स्कूली पाठ्यपुस्तकों में नहीं पढ़ेंगे... खैर, अंत में, निश्चित रूप से, अंतिम बॉस होमवर्क के रूप में आपका इंतजार कर रहा है।)

स्तर 0. सबसे सरल घातीय समीकरण क्या है? सरलतम घातीय समीकरणों का समाधान.

आरंभ करने के लिए, आइए कुछ स्पष्ट प्राथमिक बातों पर नजर डालें। आपको कहीं न कहीं से शुरुआत करनी होगी, है ना? उदाहरण के लिए, यह समीकरण:

2 एक्स = 2 2

बिना किसी सिद्धांत के भी, सरल तर्क और सामान्य ज्ञान से, यह स्पष्ट है कि x = 2. अन्यथा, कोई रास्ता नहीं है, है ना? x का कोई अन्य मान अच्छा नहीं है...अब अपना ध्यान इस ओर केन्द्रित करते हैं निर्णय रिकार्डयह अच्छा घातीय समीकरण:

2 एक्स = 2 2

एक्स = 2

हमें क्या हुआ? और निम्नलिखित हुआ. हमने, वास्तव में, ले लिया और...बस वही आधार (दो) बाहर फेंक दिए! पूरी तरह से बाहर फेंक दिया गया. और, जो अच्छा लगे, ठीक उसी पर प्रहार करो!

हाँ, वास्तव में, यदि घातीय समीकरण में बाएँ और दाएँ हैं जो उसीकिसी भी डिग्री में संख्याएँ, तो इन संख्याओं को त्याग दिया जा सकता है और बस घातांक को बराबर किया जा सकता है। गणित अनुमति देता है।) और फिर आप संकेतकों के साथ अलग से काम कर सकते हैं और बहुत सरल समीकरण को हल कर सकते हैं। यह बहुत बढ़िया है, है ना?

यहां किसी भी (हां, बिल्कुल कोई भी!) घातीय समीकरण को हल करने का मुख्य विचार दिया गया है: समान परिवर्तनों की सहायता से, यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि समीकरण में बाएँ और दाएँ हैं जो उसी विभिन्न अंशों में आधार संख्याएँ। और फिर आप उन्हीं आधारों को सुरक्षित रूप से हटा सकते हैं और घातांकों को बराबर कर सकते हैं। और एक सरल समीकरण के साथ काम करें।

और अब हमें लौह नियम याद है: समान आधारों को हटाना तभी संभव है जब समीकरण में बायीं और दायीं ओर आधार संख्याएँ हों गर्वित अकेलेपन में.

शानदार अलगाव में इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है बिना किसी पड़ोसी और गुणांक के। मैं समझाता हूं।

उदाहरण के लिए, समीकरण में

3 3 x-5 = 3 2 x +1

आप त्रिगुणों को नहीं हटा सकते! क्यों? क्योंकि बायीं ओर हमारे पास डिग्री में सिर्फ एक अकेला तीन नहीं है, बल्कि काम 3 3 x-5 . एक अतिरिक्त ट्रिपल रास्ते में आता है: एक गुणांक, आप समझते हैं।)

समीकरण के बारे में भी यही कहा जा सकता है

5 3 एक्स = 5 2 एक्स +5 एक्स

यहाँ भी, सभी आधार समान हैं - पाँच। लेकिन दाहिनी ओर हमारे पास पाँच की एक भी डिग्री नहीं है: वहाँ डिग्रियों का योग है!

संक्षेप में, हमें उन्हीं आधारों को हटाने का अधिकार तभी है जब हमारा घातांकीय समीकरण इस तरह और केवल इस तरह दिखता है:

एएफ (एक्स) = एक जी (एक्स)

इस प्रकार के घातीय समीकरण को कहा जाता है सबसे आसान. या वैज्ञानिक रूप से, कैनन का . और हमारे सामने चाहे जो भी टेढ़ा-मेढ़ा समीकरण हो, किसी न किसी रूप में हम उसे ऐसे सरल (विहित) रूप में ही लाएँगे। या, कुछ मामलों में, करने के लिए समुच्चयइस प्रकार के समीकरण. तब हमारे सरलतम समीकरण को सामान्य रूप में इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:

एफ(एक्स) = जी(एक्स)

और बस। यह समतुल्य परिवर्तन होगा. साथ ही, x के साथ बिल्कुल किसी भी अभिव्यक्ति का उपयोग f(x) और g(x) के रूप में किया जा सकता है। जो कुछ भी।

शायद एक विशेष रूप से जिज्ञासु छात्र पूछेगा: पृथ्वी पर हम इतनी आसानी से और आसानी से बाएं और दाएं समान आधारों को क्यों त्याग देते हैं और घातांक को बराबर कर देते हैं? अंतर्ज्ञान अंतर्ज्ञान है, लेकिन अचानक, किसी समीकरण में और किसी कारण से, यह दृष्टिकोण गलत हो जाएगा? क्या हमेशा एक ही आधार फेंकना कानूनी है?दुर्भाग्य से, इस दिलचस्प प्रश्न के कठोर गणितीय उत्तर के लिए, किसी को कार्यों की संरचना और व्यवहार के सामान्य सिद्धांत में काफी गहराई से और गंभीरता से विचार करने की आवश्यकता है। और थोड़ा और विशेष रूप से - घटना में सख्त एकरसता.विशेष रूप से, सख्त एकरसता घातांक प्रकार्यय= एक एक्स. चूँकि यह घातीय फलन और उसके गुण हैं जो घातीय समीकरणों के समाधान को रेखांकित करते हैं, हाँ।) इस प्रश्न का विस्तृत उत्तर विभिन्न कार्यों की एकरसता का उपयोग करके जटिल गैर-मानक समीकरणों को हल करने के लिए समर्पित एक अलग विशेष पाठ में दिया जाएगा।)

अब इस बात को विस्तार से समझाने का मतलब केवल एक औसत स्कूली बच्चे का दिमाग निकालना और उसे समय से पहले एक सूखे और भारी सिद्धांत से डराना है। मैं ऐसा नहीं करूंगा।) क्योंकि इस समय हमारा मुख्य कार्य है घातीय समीकरणों को हल करना सीखें!सबसे सरल! इसलिए, जब तक हम पसीना नहीं बहाते और साहसपूर्वक उन्हीं कारणों को बाहर नहीं निकाल देते। यह कर सकना, मेरी बात मानें!) और फिर हम पहले से ही समतुल्य समीकरण f (x) = g (x) को हल कर लेते हैं। एक नियम के रूप में, यह मूल घातांक से अधिक सरल है।

बेशक, यह माना जाता है कि लोग पहले से ही जानते हैं कि कैसे कम से कम और समीकरणों को हल करना है, पहले से ही संकेतकों में x के बिना।) जो अभी भी नहीं जानता कि कैसे, इस पृष्ठ को बंद करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें, उचित लिंक पर जाएं और पुराने अंतराल को भरें। अन्यथा, आपके लिए कठिन समय होगा, हाँ...

मैं तर्कहीन, त्रिकोणमितीय और अन्य क्रूर समीकरणों के बारे में चुप हूं जो आधारों को खत्म करने की प्रक्रिया में भी उभर सकते हैं। लेकिन चिंतित न हों, अभी हम डिग्रियों के संदर्भ में फ्रैंक टिन पर विचार नहीं करेंगे: यह बहुत जल्दी है। हम केवल सरलतम समीकरणों पर ही प्रशिक्षण देंगे।)

अब उन समीकरणों पर विचार करें जिन्हें सरलतम बनाने के लिए कुछ अतिरिक्त प्रयास की आवश्यकता होती है। उन्हें अलग करने के लिए, आइए उन्हें कॉल करें सरल घातीय समीकरण. तो चलिए अगले स्तर पर चलते हैं!

स्तर 1. सरल घातीय समीकरण. डिग्रियों को पहचानो! प्राकृतिक संकेतक.

किसी भी घातीय समीकरण को हल करने में प्रमुख नियम हैं डिग्रियों से निपटने के नियम. इस ज्ञान और कौशल के बिना, कुछ भी काम नहीं करेगा। अफ़सोस. इसलिए, यदि डिग्रियों को लेकर कोई समस्या है, तो शुरुआत के लिए आपका स्वागत है। इसके अलावा हमें भी चाहिए. ये परिवर्तन (अधिकतम दो!) सामान्यतः गणित के सभी समीकरणों को हल करने का आधार हैं। और केवल शोकेस ही नहीं। तो, जो कोई भी भूल गया है, वह भी लिंक पर चलें: मैंने उन्हें किसी कारण से लगाया है।

लेकिन केवल शक्तियों और समान परिवर्तनों वाले कार्य ही पर्याप्त नहीं हैं। इसके लिए व्यक्तिगत अवलोकन और सरलता की भी आवश्यकता होती है। हमें वही आधार चाहिए, है ना? इसलिए हम उदाहरण की जांच करते हैं और उन्हें स्पष्ट या प्रच्छन्न रूप में देखते हैं!

उदाहरण के लिए, यह समीकरण:

3 2x – 27x +2 = 0

पहले देखो मैदान. वे भिन्न हैं! तीन और सत्ताईस. लेकिन अभी घबराना और निराशा में पड़ना जल्दबाजी होगी। यह याद रखने का समय है

27 = 3 3

अंक 3 और 27 डिग्री में रिश्तेदार हैं! इसके अलावा, रिश्तेदार।) इसलिए, हमें यह लिखने का पूरा अधिकार है:

27 x +2 = (3 3) x+2

और अब हम अपने ज्ञान को जोड़ते हैं डिग्री के साथ कार्रवाई(और मैंने तुम्हें चेतावनी दी थी!) ऐसा ही एक बहुत उपयोगी फार्मूला है:

(एएम) एन = ए एमएन

अब यदि आप इसे पाठ्यक्रम में चलाते हैं, तो यह आम तौर पर ठीक हो जाता है:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

मूल उदाहरण अब इस तरह दिखता है:

3 2 एक्स – 3 3(एक्स +2) = 0

बढ़िया, डिग्रियों का आधार संरेखित हो गया है। हम जिसके लिए प्रयास कर रहे थे. आधा काम पूरा हो गया है।) और अब हम बुनियादी पहचान परिवर्तन लॉन्च करते हैं - हम 3 3 (x +2) को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं। किसी ने भी गणित की प्रारंभिक क्रियाओं को रद्द नहीं किया, हाँ।) हमें मिलता है:

3 2 एक्स = 3 3(एक्स +2)

हमें इस प्रकार का समीकरण क्या देता है? और सच तो यह है कि अब हमारा समीकरण सिमट गया है विहित रूप में: बायीं और दायीं ओर घातों में समान संख्याएँ (तीन गुना) हैं। और दोनों त्रिक - शानदार अलगाव में। हम साहसपूर्वक त्रिक को हटाते हैं और प्राप्त करते हैं:

2x = 3(x+2)

हम इसे हल करते हैं और प्राप्त करते हैं:

एक्स=-6

इसके लिए यही सब कुछ है। यह सही जवाब है।)

और अब हम निर्णय की दिशा को समझते हैं। इस उदाहरण में हमें किस चीज़ ने बचाया? त्रिगुणों के ज्ञान से हम बच गये। बिल्कुल कैसे? हम पहचान कीसंख्या 27 एन्क्रिप्टेड तीन! यह युक्ति (एक ही आधार को विभिन्न संख्याओं के अंतर्गत कूटबद्ध करना) घातीय समीकरणों में सबसे लोकप्रिय में से एक है! जब तक यह सबसे लोकप्रिय न हो. हाँ, और वैसे भी। यही कारण है कि घातीय समीकरणों में अवलोकन और संख्याओं में अन्य संख्याओं की शक्तियों को पहचानने की क्षमता इतनी महत्वपूर्ण है!

प्रायोगिक उपकरण:

आपको लोकप्रिय नंबरों की शक्तियों को जानना होगा। सामने!

बेशक, कोई भी दो को सातवीं शक्ति तक या तीन को पांचवीं तक बढ़ा सकता है। मेरे दिमाग में नहीं है, तो कम से कम ड्राफ्ट पर। लेकिन घातीय समीकरणों में, अक्सर यह आवश्यक होता है कि किसी घात को न बढ़ाया जाए, बल्कि, इसके विपरीत, यह पता लगाया जाए कि संख्या के पीछे कौन सी संख्या और किस हद तक छिपी हुई है, मान लीजिए, 128 या 243। और यह पहले से ही सरल घातांक से अधिक जटिल है, आप देखते हैं। जैसा कि वे कहते हैं, अंतर महसूस करें!

चूँकि चेहरे से डिग्री पहचानने की क्षमता न केवल इस स्तर पर, बल्कि निम्नलिखित स्तरों पर भी उपयोगी है, यहाँ आपके लिए एक छोटा सा कार्य है:

निर्धारित करें कि कौन सी घातें और कौन सी संख्याएँ संख्याएँ हैं:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

उत्तर (बेशक बिखरे हुए):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

हां हां! आश्चर्यचकित न हों कि कार्यों से अधिक उत्तर हैं। उदाहरण के लिए, 2 8, 4 4 और 16 2 सभी 256 हैं।

स्तर 2. सरल घातीय समीकरण. डिग्रियों को पहचानो! नकारात्मक और भिन्नात्मक घातांक.

इस स्तर पर, हम पहले से ही डिग्रियों के बारे में अपने ज्ञान का पूरा उपयोग करते हैं। अर्थात्, हम इस आकर्षक प्रक्रिया में नकारात्मक और भिन्नात्मक संकेतक शामिल करते हैं! हां हां! हमें शक्ति का निर्माण करने की आवश्यकता है, है ना?

उदाहरण के लिए, यह भयानक समीकरण:

फिर से, सबसे पहले नींव को देखें। आधार अलग हैं! और इस बार तो वे एक-दूसरे से दूर-दूर तक मिलते-जुलते नहीं हैं! 5 और 0.04... और आधारों को खत्म करने के लिए उन्हीं आधारों की आवश्यकता है... क्या करें?

कोई बात नहीं! वास्तव में, सब कुछ समान है, केवल पांच और 0.04 के बीच का संबंध दृष्टिहीन रूप से दिखाई देता है। हम कैसे बाहर निकलें? और चलिए संख्या 0.04 में सामान्य भिन्न की ओर बढ़ते हैं! और वहां, आप देखिए, सब कुछ बनता है।)

0,04 = 4/100 = 1/25

बहुत खूब! यह पता चला कि 0.04 1/25 है! खैर, किसने सोचा होगा!)

कितनी अच्छी तरह से? अब संख्या 5 और 1/25 के बीच संबंध देखना आसान है? यह वही है...

और अब, शक्तियों के साथ संचालन के नियमों के अनुसार नकारात्मक सूचकदृढ़ हाथ से लिखा जा सकता है:

यह बहुत बढ़िया बात है। तो हम उसी आधार पर पहुँचे - पाँच। अब हम समीकरण में असुविधाजनक संख्या 0.04 को 5 -2 से बदलते हैं और प्राप्त करते हैं:

पुनः, शक्तियों के साथ संचालन के नियमों के अनुसार, अब हम लिख सकते हैं:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

बस मामले में, मैं आपको याद दिलाता हूं (अचानक, कौन नहीं जानता) कि डिग्री के साथ कार्यों के बुनियादी नियम मान्य हैं कोईसंकेतक! नकारात्मक सहित।) इसलिए संबंधित नियम के अनुसार संकेतक (-2) और (x-1) लेने और गुणा करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें। हमारा समीकरण बेहतर से बेहतर होता जा रहा है:

सभी! बाएँ और दाएँ डिग्री में एकाकी पाँच के अलावा और कुछ नहीं है। समीकरण को विहित रूप में घटा दिया गया है। और फिर - टेढ़े-मेढ़े रास्ते पर। हम पाँचों को हटाते हैं और संकेतकों को बराबर करते हैं:

एक्स 2 –6 एक्स+5=-2(एक्स-1)

उदाहरण लगभग पूरा हो चुका है. मध्यम वर्गों का प्रारंभिक गणित बना हुआ है - हम कोष्ठक खोलते हैं (सही ढंग से!) और बाईं ओर सब कुछ इकट्ठा करते हैं:

एक्स 2 –6 एक्स+5 = -2 एक्स+2

एक्स 2 –4 एक्स+3 = 0

हम इसे हल करते हैं और दो जड़ें प्राप्त करते हैं:

एक्स 1 = 1; एक्स 2 = 3

बस इतना ही।)

अब फिर से सोचते हैं. इस उदाहरण में, हमें फिर से उसी संख्या को अलग-अलग डिग्री में पहचानना था! अर्थात्, एन्क्रिप्टेड पाँच को संख्या 0.04 में देखने के लिए। और इस बार, में नकारात्मक डिग्री!हम इसे कैसे करेंगे? चलते-फिरते - कोई रास्ता नहीं। लेकिन 0.04 के दशमलव अंश से 1/25 के साधारण अंश में संक्रमण के बाद, सब कुछ उजागर हो गया! और फिर पूरा निर्णय घड़ी की कल की तरह चला गया।)

इसलिए, एक और हरित व्यावहारिक सलाह।

यदि घातीय समीकरण में दशमलव भिन्न हों, तो हम दशमलव भिन्न से साधारण भिन्न की ओर बढ़ते हैं। साधारण भिन्नों में, कई लोकप्रिय संख्याओं की घातों को पहचानना बहुत आसान है! पहचान के बाद, हम भिन्न से नकारात्मक घातांक वाली घातों की ओर बढ़ते हैं।

ध्यान रखें कि घातीय समीकरणों में ऐसी गड़बड़ी बहुत, बहुत बार होती है! और व्यक्ति विषय में नहीं है. उदाहरण के लिए, वह संख्या 32 और 0.125 को देखता है और परेशान हो जाता है। यह उसके लिए अज्ञात है कि यह वही ड्यूस है, केवल अलग-अलग डिग्री में ... लेकिन आप पहले से ही विषय में हैं!)

प्रश्न हल करें:

में! यह एक शांत भयावहता जैसा दिखता है... हालाँकि, दिखावे भ्रामक हैं। अपने डरावने स्वरूप के बावजूद, यह सबसे सरल घातीय समीकरण है। और अब मैं इसे आपको दिखाऊंगा।)

सबसे पहले, हम आधारों और गुणांकों में मौजूद सभी संख्याओं से निपटते हैं। वे स्पष्ट रूप से भिन्न हैं, हाँ। लेकिन हम फिर भी जोखिम उठाते हैं और उन्हें बनाने का प्रयास करते हैं जो उसी! आइए पहुंचने का प्रयास करें अलग-अलग डिग्री में एक ही संख्या. और, अधिमानतः, यथासंभव न्यूनतम संख्या। तो, आइए समझना शुरू करें!

खैर, चारों के साथ एक साथ सब कुछ स्पष्ट है - यह 2 2 है। तो, पहले से ही कुछ।)

0.25 के अंश के साथ - यह अभी तक स्पष्ट नहीं है। देखने की जरूरत है। हम व्यावहारिक सलाह का उपयोग करते हैं - दशमलव से सामान्य तक जाएँ:

0,25 = 25/100 = 1/4

पहले से बहुत बेहतर. फिलहाल तो यह साफ दिख रहा है कि 1/4 2 -2 है. बढ़िया, और संख्या 0.25 भी ड्यूस के समान है।)

अब तक तो सब ठीक है। लेकिन सबसे खराब संख्या अभी भी बनी हुई है - दो का वर्गमूल!इस मिर्च का क्या करें? क्या इसे दो की शक्ति के रूप में भी दर्शाया जा सकता है? और कौन जानता है...

खैर, हम फिर से डिग्रियों के बारे में अपने ज्ञान के खजाने में चढ़ गए! इस बार हम अपना ज्ञान भी जोड़ते हैं जड़ों के बारे में. 9वीं कक्षा के पाठ्यक्रम से, आपको और मुझे यह सहना पड़ा कि यदि चाहें तो किसी भी जड़ को हमेशा एक डिग्री में बदला जा सकता है एक अंश के साथ.

इस कदर:

हमारे मामले में:

कैसे! इससे पता चलता है कि दो का वर्गमूल 2 1/2 है। इतना ही!

वह ठीक है! हमारे सभी असुविधाजनक नंबर वास्तव में एक एन्क्रिप्टेड ड्यूस निकले।) मैं बहस नहीं करता, कहीं न कहीं बहुत ही परिष्कृत रूप से एन्क्रिप्टेड। लेकिन हम ऐसे सिफर को हल करने में अपनी व्यावसायिकता भी बढ़ाते हैं! और फिर सब कुछ पहले से ही स्पष्ट है. हम अपने समीकरण में संख्या 4, 0.25 और दो के मूल को दो की घात से प्रतिस्थापित करते हैं:

सभी! उदाहरण में सभी डिग्रियों का आधार एक ही हो गया है - दो। और अब डिग्री के साथ मानक क्रियाओं का उपयोग किया जाता है:

पूर्वाह्नएक = पूर्वाह्न + एन

ए एम:ए एन = ए एम-एन

(एएम) एन = ए एमएन

बाईं ओर के लिए आपको मिलता है:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

दाहिनी ओर के लिए होगा:

और अब हमारा दुष्ट समीकरण इस तरह दिखने लगा:

उन लोगों के लिए जो यह नहीं समझ पाए हैं कि वास्तव में यह समीकरण कैसे निकला, तो सवाल घातीय समीकरणों के बारे में नहीं है। प्रश्न शक्तियों के साथ कार्यों का है। मैंने तत्काल उन लोगों से दोहराने के लिए कहा जिन्हें समस्या है!

यहाँ अंतिम रेखा है! घातांकीय समीकरण का विहित रूप प्राप्त होता है! कितनी अच्छी तरह से? क्या मैंने आपको आश्वस्त किया है कि यह इतना डरावना नहीं है? ;) हम ड्यूस हटाते हैं और संकेतकों को बराबर करते हैं:

यह केवल इस रैखिक समीकरण को हल करने के लिए ही रह गया है। कैसे? निश्चित रूप से समान परिवर्तनों की मदद से।) जो पहले से मौजूद है उसे हल करें! दोनों भागों को दो से गुणा करें (अंश 3/2 को हटाने के लिए), Xs वाले पदों को बाईं ओर ले जाएं, बिना Xs वाले पदों को दाईं ओर ले जाएं, समान वाले लाएं, गिनें - और आप खुश होंगे!

सब कुछ सुंदर होना चाहिए:

एक्स=4

अब फैसले पर दोबारा विचार करें. इस उदाहरण में, हमें संक्रमण से बचाया गया था वर्गमूल को घातांक 1/2 के साथ डिग्री. इसके अलावा, केवल इस तरह के एक चालाक परिवर्तन ने हमें हर जगह एक ही आधार (ड्यूस) तक पहुंचने में मदद की, जिससे स्थिति बच गई! और, यदि ऐसा नहीं होता, तो हमारे पास हमेशा के लिए स्थिर हो जाने और कभी भी इस उदाहरण का सामना नहीं करने का पूरा मौका होता, हाँ...

इसलिए, हम निम्नलिखित व्यावहारिक सलाह की उपेक्षा नहीं करते हैं:

यदि घातांकीय समीकरण में जड़ें हैं, तो हम मूल से भिन्नात्मक घातांक वाली घातों की ओर बढ़ते हैं। अक्सर ऐसा परिवर्तन ही आगे की स्थिति स्पष्ट करता है।

निःसंदेह, नकारात्मक और भिन्नात्मक शक्तियाँ पहले से ही प्राकृतिक शक्तियों की तुलना में कहीं अधिक जटिल हैं। कम से कम दृश्य धारणा के संदर्भ में और, विशेष रूप से, दाएं से बाएं ओर पहचान के संदर्भ में!

यह स्पष्ट है कि सीधे तौर पर, उदाहरण के लिए, दो को -3 की घात तक या चार को -3/2 की घात तक बढ़ाना इतनी बड़ी समस्या नहीं है। उन लोगों के लिए जो जानते हैं।)

लेकिन, उदाहरण के लिए, तुरंत इसका एहसास करें

0,125 = 2 -3

या

यहाँ केवल अभ्यास और समृद्ध अनुभव ही राज करते हैं, हाँ। और, निःसंदेह, एक स्पष्ट दृष्टिकोण, ऋणात्मक और भिन्नात्मक घातांक क्या है?और - प्रायोगिक उपकरण! हाँ, हाँ, वो हरा.) मुझे आशा है कि फिर भी वे आपको विभिन्न प्रकार की डिग्रियों में बेहतर ढंग से नेविगेट करने में मदद करेंगे और आपकी सफलता की संभावनाओं को महत्वपूर्ण रूप से बढ़ाएंगे! तो आइए उनकी उपेक्षा न करें। यह अकारण नहीं है कि मैं कभी-कभी हरे रंग में लिखता हूं।)

दूसरी ओर, यदि आप नकारात्मक और भिन्नात्मक जैसी विदेशी शक्तियों के साथ भी "आप" बन जाते हैं, तो घातीय समीकरणों को हल करने में आपकी संभावनाएं काफी बढ़ जाएंगी, और आप पहले से ही लगभग किसी भी प्रकार के घातीय समीकरणों को संभालने में सक्षम होंगे। खैर, यदि कोई नहीं, तो सभी घातीय समीकरणों का 80 प्रतिशत - निश्चित रूप से! हाँ, हाँ, मैं मज़ाक नहीं कर रहा हूँ!

तो, घातीय समीकरणों से परिचित होने का हमारा पहला भाग अपने तार्किक निष्कर्ष पर आ गया है। और, बीच-बीच में कसरत के रूप में, मैं परंपरागत रूप से स्वयं ही कुछ हल करने का सुझाव देता हूं।)

अभ्यास 1।

ताकि ऋणात्मक और भिन्नात्मक अंशों को समझने के बारे में मेरे शब्द व्यर्थ न जाएँ, मैं एक छोटा सा खेल खेलने का प्रस्ताव करता हूँ!

संख्या को दो की घात के रूप में व्यक्त करें:

उत्तर (अव्यवस्था में):

घटित? महान! फिर हम एक लड़ाकू मिशन करते हैं - हम सबसे सरल और सरल घातीय समीकरणों को हल करते हैं!

कार्य 2.

समीकरण हल करें (सभी उत्तर गड़बड़ हैं!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16x+3 = 0

उत्तर:

एक्स=16

एक्स 1 = -1; एक्स 2 = 2

एक्स = 5

घटित? सचमुच, बहुत आसान!

फिर हम निम्नलिखित गेम को हल करते हैं:

(2 x +4) x -3 = 0.5 x 4 x -4

35 1-x = 0.2 - x 7 x

उत्तर:

एक्स 1 = -2; एक्स 2 = 2

एक्स = 0,5

एक्स 1 = 3; एक्स 2 = 5

और एक के ये उदाहरण बचे हैं? महान! आप बढ़ रहे हैं! फिर आपके लिए यहां कुछ और उदाहरण दिए गए हैं:

उत्तर:

एक्स = 6

एक्स = 13/31

एक्स = -0,75

एक्स 1 = 1; एक्स 2 = 8/3

और क्या यह तय है? अच्छा, सम्मान! मैं अपनी टोपी उतारता हूं।) तो, सबक व्यर्थ नहीं गया, और घातीय समीकरणों को हल करने के प्रारंभिक स्तर को सफलतापूर्वक महारत हासिल माना जा सकता है। आगे - अगले स्तर और अधिक जटिल समीकरण! और नई तकनीकें और दृष्टिकोण। और गैर मानक उदाहरण. और नए आश्चर्य।) यह सब - अगले पाठ में!

कुछ काम नहीं किया? तो, सबसे अधिक संभावना है, समस्याएं यहीं हैं। या में. या दोनों एक ही समय में. यहाँ मैं शक्तिहीन हूँ. मैं एक बार फिर केवल एक ही चीज़ की पेशकश कर सकता हूं - आलसी मत बनो और लिंक के माध्यम से चलें।)

करने के लिए जारी।)

अंतिम परीक्षण की तैयारी के चरण में, हाई स्कूल के छात्रों को "घातीय समीकरण" विषय पर अपने ज्ञान में सुधार करने की आवश्यकता है। पिछले वर्षों का अनुभव बताता है कि ऐसे कार्य स्कूली बच्चों के लिए कुछ कठिनाइयाँ पैदा करते हैं। इसलिए, हाई स्कूल के छात्रों को, उनकी तैयारी के स्तर की परवाह किए बिना, सिद्धांत में सावधानीपूर्वक महारत हासिल करने, सूत्रों को याद रखने और ऐसे समीकरणों को हल करने के सिद्धांत को समझने की आवश्यकता है। इस प्रकार के कार्यों से निपटना सीख लेने के बाद, स्नातक गणित में परीक्षा उत्तीर्ण करते समय उच्च अंकों पर भरोसा करने में सक्षम होंगे।

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कवर की गई सामग्रियों को दोहराते समय, कई छात्रों को समीकरणों को हल करने के लिए आवश्यक सूत्र खोजने की समस्या का सामना करना पड़ता है। एक स्कूल की पाठ्यपुस्तक हमेशा हाथ में नहीं होती है, और इंटरनेट पर किसी विषय पर आवश्यक जानकारी के चयन में काफी समय लगता है।

शकोल्कोवो शैक्षिक पोर्टल छात्रों को हमारे ज्ञान आधार का उपयोग करने के लिए आमंत्रित करता है। हम अंतिम परीक्षा की तैयारी का एक बिल्कुल नया तरीका लागू कर रहे हैं। हमारी साइट पर अध्ययन करते हुए, आप ज्ञान में अंतराल की पहचान करने और उन कार्यों पर ध्यान देने में सक्षम होंगे जो सबसे बड़ी कठिनाइयों का कारण बनते हैं।

"श्कोल्कोवो" के शिक्षकों ने परीक्षा में सफल उत्तीर्ण होने के लिए आवश्यक सभी सामग्री को सबसे सरल और सबसे सुलभ रूप में एकत्र, व्यवस्थित और प्रस्तुत किया।

मुख्य परिभाषाएँ और सूत्र "सैद्धांतिक संदर्भ" खंड में प्रस्तुत किए गए हैं।

सामग्री को बेहतर ढंग से आत्मसात करने के लिए, हम अनुशंसा करते हैं कि आप असाइनमेंट का अभ्यास करें। गणना एल्गोरिथ्म को समझने के लिए इस पृष्ठ पर प्रस्तुत समाधानों के साथ घातीय समीकरणों के उदाहरणों की सावधानीपूर्वक समीक्षा करें। उसके बाद, "कैटलॉग" अनुभाग में कार्यों के साथ आगे बढ़ें। आप सबसे आसान कार्यों से शुरुआत कर सकते हैं या कई अज्ञात या के साथ जटिल घातीय समीकरणों को हल करने के लिए सीधे जा सकते हैं। हमारी वेबसाइट पर अभ्यासों का डेटाबेस लगातार पूरक और अद्यतन किया जाता है।

संकेतकों वाले वे उदाहरण जिनके कारण आपको कठिनाई हुई, उन्हें "पसंदीदा" में जोड़ा जा सकता है। तो आप उन्हें तुरंत ढूंढ सकते हैं और शिक्षक के साथ समाधान पर चर्चा कर सकते हैं।

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इस पाठ में, हम अधिक जटिल घातांकीय समीकरणों के समाधान पर विचार करेंगे, घातांकीय फलन के संबंध में मुख्य सैद्धांतिक प्रावधानों को याद करेंगे।

1. एक घातांकीय फलन की परिभाषा और गुण, सरलतम घातीय समीकरणों को हल करने की एक तकनीक

किसी घातांकीय फलन की परिभाषा और मुख्य गुणों को याद करें। गुणों पर ही सभी घातीय समीकरणों और असमानताओं का समाधान आधारित है।

घातांक प्रकार्यफॉर्म का एक फ़ंक्शन है, जहां आधार डिग्री है और यहां x एक स्वतंत्र चर, एक तर्क है; y - आश्रित चर, फलन।

चावल। 1. घातांकीय फलन का ग्राफ

ग्राफ एक बढ़ते और घटते घातांक को दर्शाता है, जो क्रमशः एक से अधिक और एक से कम, लेकिन शून्य से अधिक के आधार पर घातीय फ़ंक्शन को दर्शाता है।

दोनों वक्र बिंदु (0;1) से होकर गुजरते हैं

घातांकीय फलन के गुण:

कार्यक्षेत्र: ;

मूल्यों की श्रृंखला: ;

फ़ंक्शन मोनोटोनिक है, जैसे-जैसे बढ़ता है, वैसे-वैसे घटता जाता है।

एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन अपने प्रत्येक मान को तर्क के एकल मान के साथ लेता है।

जब तर्क माइनस से प्लस इनफिनिटी तक बढ़ता है, तो फ़ंक्शन शून्य, समावेशी, प्लस इनफिनिटी तक बढ़ जाता है। इसके विपरीत, जब तर्क माइनस से प्लस अनंत तक बढ़ता है, तो फ़ंक्शन अनंत से शून्य तक घट जाता है, समावेशी।

2. विशिष्ट घातीय समीकरणों का समाधान

सबसे सरल घातीय समीकरणों को हल करने का तरीका याद करें। उनका समाधान घातांकीय फलन की एकरसता पर आधारित है। लगभग सभी जटिल घातीय समीकरण ऐसे समीकरणों में सिमट जाते हैं।

समान आधारों वाले घातांकों की समानता घातांकीय फलन के गुण, अर्थात् उसकी एकरसता, के कारण होती है।

समाधान विधि:

डिग्रियों के आधार बराबर करें;

घातांकों को समान करें।

आइए अधिक जटिल घातीय समीकरणों की ओर बढ़ें, हमारा लक्ष्य उनमें से प्रत्येक को सरलतम बनाना है।

आइए बाईं ओर की जड़ से छुटकारा पाएं और डिग्री को उसी आधार पर कम करें:

किसी जटिल घातीय समीकरण को सरल समीकरण में बदलने के लिए अक्सर चरों में परिवर्तन का उपयोग किया जाता है।

आइए डिग्री संपत्ति का उपयोग करें:

हम एक प्रतिस्थापन पेश करते हैं। फिर चलो

हम परिणामी समीकरण को दो से गुणा करते हैं और सभी पदों को बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं:

पहला मूल y मानों के अंतराल को संतुष्ट नहीं करता है, हम इसे त्याग देते हैं। हम पाते हैं:

आइए डिग्रियों को एक ही संकेतक पर लाएं:

हम एक प्रतिस्थापन प्रस्तुत करते हैं:

फिर चलो . इस प्रतिस्थापन के साथ, यह स्पष्ट है कि y सख्ती से सकारात्मक मान लेता है। हम पाते हैं:

हम जानते हैं कि समान द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है, हम उत्तर लिखते हैं:

यह सुनिश्चित करने के लिए कि जड़ें सही पाई गई हैं, आप विएटा प्रमेय के अनुसार जांच कर सकते हैं, यानी जड़ों और उनके उत्पाद का योग ज्ञात करें और समीकरण के संबंधित गुणांक के साथ जांच करें।

हम पाते हैं:

3. दूसरी डिग्री के सजातीय घातीय समीकरणों को हल करने की तकनीक

आइए निम्नलिखित महत्वपूर्ण प्रकार के घातीय समीकरणों का अध्ययन करें:

इस प्रकार के समीकरणों को फलन f और g के संबंध में दूसरी डिग्री का सजातीय कहा जाता है। इसके बाईं ओर पैरामीटर g के साथ f के संबंध में एक वर्ग त्रिपद या पैरामीटर f के साथ g के संबंध में एक वर्ग त्रिपद है।

समाधान विधि:

इस समीकरण को द्विघात समीकरण के रूप में हल किया जा सकता है, लेकिन इसे दूसरे तरीके से करना आसान है। दो मामलों पर विचार किया जाना चाहिए:

पहले मामले में, हमें मिलता है

दूसरे मामले में, हमें उच्चतम डिग्री से विभाजित करने का अधिकार है और हमें मिलता है:

आपको चरों में बदलाव लाना चाहिए, हमें y के लिए एक द्विघात समीकरण मिलता है:

ध्यान दें कि फलन f और g मनमाना हो सकते हैं, लेकिन हम उस मामले में रुचि रखते हैं जब ये घातांकीय फलन हों।

4. सजातीय समीकरणों को हल करने के उदाहरण

आइए सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ:

चूंकि घातांकीय फलन पूरी तरह से सकारात्मक मान प्राप्त करते हैं, इसलिए हमें इस मामले पर विचार किए बिना समीकरण को तुरंत विभाजित करने का अधिकार है:

हम पाते हैं:

हम एक प्रतिस्थापन प्रस्तुत करते हैं: (घातांकीय फलन के गुणों के अनुसार)

हमें एक द्विघात समीकरण मिला:

हम विएटा प्रमेय के अनुसार जड़ें निर्धारित करते हैं:

पहला मूल y मानों के अंतराल को संतुष्ट नहीं करता है, हम इसे त्याग देते हैं, हमें मिलता है:

आइए डिग्री के गुणों का उपयोग करें और सभी डिग्री को सरल आधार पर कम करें:

फ़ंक्शन f और g को नोटिस करना आसान है: