दो गुणा दो चार है, या गुणा और भाग। यदि कारकों में से एक शून्य है, तो उत्पाद शून्य है यदि उत्पाद शून्य है

इसमें क्या है? उपस्थितियह निर्धारित करने के लिए समीकरण कि क्या यह समीकरण होगा अधूराद्विघात समीकरण? परंतु जैसे अधूरा समाधान करेंद्विघातीय समीकरण?

अपूर्ण द्विघात समीकरण को "देखकर" कैसे पहचानें

बाएंसमीकरण का हिस्सा है वर्ग त्रिपद, ए सही — संख्या 0. ऐसे समीकरण कहलाते हैं पूरा द्विघातीय समीकरण.

पर पूराद्विघात समीकरण सभी कठिनाइयाँ, और सम नही 0. इन्हें हल करने के लिए विशेष सूत्र हैं, जिनसे हम आगे परिचित होंगे।

अधिकांश सरलहल करने के लिए हैं अधूराद्विघातीय समीकरण। ये द्विघात समीकरण हैं जिनमें कुछ गुणांक शून्य हैं.

परिभाषा के अनुसार गुणांक शून्य नहीं हो सकता, क्योंकि अन्यथा समीकरण द्विघात नहीं होगा। हमने इस बारे में बात की. तो, यह पता चला है कि आवेदन करना है शून्य करने के लिए कर सकते हैं केवलकठिनाइयाँ या.

इस पर निर्भर करते हुए, वहाँ तीन प्रकार के अपूर्णद्विघातीय समीकरण।

1) , कहाँ ;
2) , कहाँ ;
3) , कहाँ .

तो, यदि हम एक द्विघात समीकरण देखते हैं, जिसके बाईं ओर तीन सदस्यों के स्थान परवर्तमान दो सदस्यया एक सदस्य, तो यह समीकरण होगा अधूराद्विघात समीकरण।

अपूर्ण द्विघात समीकरण की परिभाषा

अपूर्ण द्विघात समीकरणद्विघात समीकरण कहलाता है जिसमें गुणांकों में से कम से कम एक या शून्य.

इस परिभाषा में बहुत कुछ है महत्वपूर्णमुहावरा " कम से कम एकगुणांकों से... शून्य". यह मतलब है कि एक या अधिकगुणांक बराबर हो सकते हैं शून्य.

इसके आधार पर यह संभव है तीन विकल्प: या एकगुणांक शून्य है, या एक औरगुणांक शून्य है, या दोनोंगुणांक एक साथ शून्य के बराबर हैं। इस प्रकार तीन प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण प्राप्त होते हैं।

अधूराद्विघात समीकरण निम्नलिखित समीकरण हैं:
1)
2)
3)

समीकरण समाधान

आइये रूपरेखा बनाते हैं समाधान योजनायह समीकरण. बाएंसमीकरण का भाग आसानी से हो सकता है खंड करना, चूँकि समीकरण के बाईं ओर पद और हैं सामान्य अवयव, इसे ब्रैकेट से बाहर निकाला जा सकता है। तब बाईं ओर दो कारकों का गुणनफल प्राप्त होगा, और दाईं ओर शून्य।

और फिर नियम "उत्पाद शून्य के बराबर है यदि और केवल तभी जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर हो, जबकि दूसरा समझ में आता हो" काम करेगा। सब कुछ बहुत सरल है!

इसलिए, समाधान योजना.
1) हम बाईं ओर का गुणनखंड करते हैं।
2) हम नियम का उपयोग करते हैं "उत्पाद शून्य के बराबर है ..."

मैं इस प्रकार के समीकरण कहता हूं "भाग्य का उपहार". ये वो समीकरण हैं दाहिना भाग शून्य है, ए बाएंभाग को विभाजित किया जा सकता है मल्टीप्लायरों.

प्रश्न हल करें योजना के अनुसार।

1) आइए विघटित करेंसमीकरण के बाईं ओर मल्टीप्लायरोंइसके लिए हम उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालते हैं तो हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है।

2) समीकरण में हम इसे देखते हैं बाएंलागत काम, ए दाईं ओर शून्य.

असली भाग्य का उपहार!यहां, निश्चित रूप से, हम नियम का उपयोग करेंगे "उत्पाद शून्य के बराबर है यदि और केवल यदि कम से कम एक कारक शून्य के बराबर है, जबकि दूसरा समझ में आता है"।

इस नियम का गणित की भाषा में अनुवाद करने पर हमें मिलता है दोसमीकरण या.

हम देखते हैं कि समीकरण अलग हो गयादो के लिए सरलसमीकरण, जिनमें से पहला पहले ही हल हो चुका है ()।

आइए दूसरा हल करेंसमीकरण । अज्ञात शब्दों को बाईं ओर और ज्ञात शब्दों को दाईं ओर ले जाएं। एक अज्ञात सदस्य पहले से ही बाईं ओर है, हम उसे वहीं छोड़ देंगे। और हम ज्ञात पद को विपरीत चिह्न के साथ दाईं ओर ले जाते हैं। हमें एक समीकरण मिलता है.

हमने पाया है, और हमें खोजने की जरूरत है। कारक से छुटकारा पाने के लिए, आपको समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित करना होगा।

यदि एक और दो कारक 1 के बराबर हैं, तो उत्पाद दूसरे कारक के बराबर है।

तृतीय. नई सामग्री पर काम कर रहे हैं.

छात्र उन मामलों के लिए गुणन तकनीक की व्याख्या कर सकते हैं जब बहु-अंकीय संख्या प्रविष्टि के बीच में शून्य होते हैं: उदाहरण के लिए, शिक्षक संख्या 907 और 3 के उत्पाद की गणना करने का सुझाव देते हैं। छात्र एक कॉलम में समाधान लिखते हैं, तर्क देते हुए: “मैं इकाइयों के तहत संख्या 3 लिखता हूं।

मैं इकाइयों की संख्या को 3 से गुणा करता हूं: तीन गुना सात - 21, यह 2 डेस है। और 1 इकाई; मैं इकाइयों के नीचे 1 लिखता हूं, और 2 दिसंबर। याद करना। मैं दहाई को गुणा करता हूं: 0 को 3 से गुणा करता हूं, आपको 0 मिलता है, और यहां तक ​​कि 2 भी, आपको 2 दहाई मिलते हैं, मैं दहाई के नीचे 2 लिखता हूं। मैं सैकड़ों को गुणा करता हूं: 9 गुणा 3, यह 27 निकलता है, मैं 27 लिखता हूं। मैंने उत्तर पढ़ा: 2,721।

सामग्री को समेकित करने के लिए, छात्र विस्तृत विवरण के साथ कार्य 361 से उदाहरण हल करते हैं। यदि शिक्षक देखता है कि बच्चों ने नई सामग्री को अच्छी तरह से समझ लिया है, तो वह एक संक्षिप्त टिप्पणी प्रस्तुत कर सकता है।

अध्यापक।हम समाधान को संक्षेप में बताएंगे, पहले कारक के प्रत्येक अंक की केवल इकाइयों की संख्या का नाम देंगे जिसे आप गुणा करते हैं, और परिणाम, बिना यह बताए कि ये इकाइयां कौन से अंक हैं। 4,019 को 7 से गुणा करें। मैं समझाता हूं: मैं 9 को 7 से गुणा करता हूं, मुझे 63 मिलता है, मैं 3 लिखता हूं, मुझे 6 याद आता है। मैं 1 को 7 से गुणा करता हूँ, यह 7 निकलता है, और 6 भी 13 होता है, मैं 3 लिखता हूँ, मुझे 1 याद रहता है। शून्य को 7 से गुणा करें, यह शून्य निकलता है, और 1 भी, मुझे 1 मिलता है, मैं 1 लिखता हूं। मैं 4 को 7 से गुणा करता हूं, मुझे 28 मिलता है, मैं 28 लिखता हूं। मैंने उत्तर पढ़ा: 28 133।

पी एच आई एस सी यू एल टी एम आई एन टी के ए

चतुर्थ. सीखी गई सामग्री पर काम करना।

1. समस्या समाधान.

समस्या 363 विद्यार्थी टिप्पणी करके हल करते हैं। कार्य को पढ़ने के बाद एक संक्षिप्त शर्त लिखी जाती है।

शिक्षक छात्रों को समस्या को दो तरीकों से हल करने की पेशकश कर सकता है।

उत्तर: कुल मिलाकर 7,245 सेंटीमीटर अनाज निकाला गया।

बच्चे समस्या 364 को स्वयं हल करते हैं (बाद में सत्यापन के साथ)।

1) 42 10 = 420 (सी) - गेहूं

2) 420: 3 = 140 (सी) - जौ

3) 420 - 140 = 280 (सी)

उत्तर: 280 क्विंटल अधिक गेहूँ।

2. उदाहरणों का समाधान.

बच्चे कार्य 365 स्वयं करते हैं: वे भाव लिखते हैं और उनके अर्थ ढूंढते हैं।

वी. पाठ के परिणाम.

अध्यापक।दोस्तों, आपने पाठ में क्या सीखा?

बच्चे।हम गुणन की एक नई विधि से परिचित हुए।

अध्यापक।आपने कक्षा में क्या दोहराया?

बच्चे।उन्होंने समस्याएँ हल कीं, अभिव्यक्तियाँ बनाईं और उनके अर्थ खोजे।

गृहकार्य:कार्य 362, 368; नोटबुक नंबर 1, पी. 52, संख्या 5-8।

पाठ 58
संख्याओं का गुणन जिनकी लेखनी
शून्य में समाप्त होता है

लक्ष्य:एक या अधिक शून्य पर समाप्त होने वाली बहु-अंकीय संख्याओं को एक ही संख्या से गुणा करने की विधि का परिचय दे सकेंगे; समस्याओं को हल करने की क्षमता को समेकित करना, शेषफल के साथ विभाजन के उदाहरण; समय की इकाइयों की तालिका को दोहराएँ।

जोड़ के साथ-साथ महत्वपूर्ण ऑपरेशन हैं गुणन और भाग।आइए हम कम से कम यह निर्धारित करने के कार्यों को याद करें कि माशा के पास साशा की तुलना में कितनी बार अधिक सेब हैं, या प्रति वर्ष उत्पादित भागों की संख्या ज्ञात करना, यदि प्रति दिन उत्पादित भागों की संख्या ज्ञात हो।

गुणामें से एक है चार बुनियादी अंकगणितीय ऑपरेशन, जिसके दौरान एक संख्या को दूसरे से गुणा किया जाता है। दूसरे शब्दों में, प्रवेश 5 · 3 = 15 इसका मतलब है कि संख्या 5 मुड़ा हुआ था 3 समय, यानी 5 · 3 = 5 + 5 + 5 = 15.

गुणन को सिस्टम द्वारा नियंत्रित किया जाता है नियम.

1. दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल है सकारात्मक संख्या. उत्पाद का मापांक ज्ञात करने के लिए, आपको इन संख्याओं के मापांक को गुणा करना होगा।

(- 6)( - 6) = 36; (- 17.5) ( - 17,4) = 304,5

2. विभिन्न चिह्नों वाली दो संख्याओं का गुणनफल एक ऋणात्मक संख्या के बराबर होता है। उत्पाद का मापांक ज्ञात करने के लिए, आपको इन संख्याओं के मापांक को गुणा करना होगा।

(- 5) 6 = - तीस; 0.7 ( - 8) = - 21

3. यदि कारकों में से एक शून्य के बराबर है, तो उत्पाद शून्य के बराबर है।विपरीत भी सही है: उत्पाद केवल तभी शून्य होता है जब कोई एक कारक शून्य हो।

2.73 0 = 0; ( - 345.78) 0 = 0

उपरोक्त सामग्री के आधार पर हम समीकरण को हल करने का प्रयास करेंगे 4 ∙ (एक्स – 5) = 0.

1. कोष्ठक का विस्तार करें और 4x - 20 = 0 प्राप्त करें।

2. (-20) को दाईं ओर ले जाएं (चिह्न को विपरीत में बदलना न भूलें) और
हमें 4x = 20 मिलता है।

3. समीकरण के दोनों पक्षों को 4 से घटाकर x ज्ञात करें।

4. कुल: x = 5.

लेकिन नियम #3 को जानकर हम अपने समीकरण को बहुत तेजी से हल कर सकते हैं।

1. हमारा समीकरण 0 है, और नियम संख्या 3 के अनुसार, यदि कारकों में से एक 0 है तो उत्पाद 0 है।

2. हमारे पास दो गुणक हैं: 4 और (x - 5)। 4, 0 के बराबर नहीं है, इसलिए x - 5 = 0.

3. हम परिणामी सरल समीकरण को हल करते हैं: x - 5 \u003d 0. इसलिए, x \u003d 5.

गुणन निर्भर करता है दो कानून - क्रमविनिमेय और साहचर्य कानून।

विस्थापन कानून:किसी भी संख्या के लिए एऔर बीसच्ची समानता अब=बा:

(- 6) 1.2 = 1.2 ( - 6), यानी = - 7,2.

संयोजन कानून:किसी भी संख्या के लिए ए, बीऔर सीसच्ची समानता (एबी)सी = ए(बीसी)।

(- 3)( - 5) 2 = ( - 3)(2( - 5)) = (- 3)( - 10) = 30.

गुणन का व्युत्क्रम अंकगणितीय संक्रिया है विभाजन. यदि गुणन के घटकों को कहा जाता है मल्टीप्लायरों, तो भाग में वह संख्या कहलाती है जो विभाज्य हो भाज्य, वह संख्या जिससे हम विभाजित करते हैं, - डिवाइडर, और परिणाम है निजी.

12: 3 = 4, जहां 12 लाभांश है, 3 भाजक है, 4 भागफल है।

गुणा की तरह विभाजन को भी विनियमित किया जाता है नियम.

1. दो ऋणात्मक संख्याओं का भागफल एक धनात्मक संख्या होती है। भागफल का मापांक ज्ञात करने के लिए, आपको लाभांश के मापांक को भाजक के मापांक से विभाजित करना होगा।

- 12: (- 3) = 4

2. विभिन्न चिन्हों वाली दो संख्याओं का भागफल एक ऋणात्मक संख्या होती है। भागफल का मापांक ज्ञात करने के लिए, आपको लाभांश के मापांक को भाजक के मापांक से विभाजित करना होगा।

- 12: 3 = - 4; 12: (- 3) = - 4.

3. शून्य को किसी भी गैर-शून्य संख्या से विभाजित करने पर शून्य होता है। आप शून्य से भाग नहीं दे सकते.

0:23=0; 23: 0 = XXXX

विभाजन के नियमों के आधार पर, आइए एक उदाहरण को हल करने का प्रयास करें - 4 एक्स ( - 5) – (- 30) : 6 = ?

1. हम गुणन करते हैं: -4 x (-5) = 20। तो, हमारा उदाहरण 20 - (-30): 6 =? का रूप लेगा।

2. विभाजन करें (-30): 6 = -5. तो, हमारा उदाहरण 20 - (-5) = ? का रूप लेगा।

3. 20 - (-5) = 20 + 5 = 25 घटाएं।

तो हमारा उत्तर 25.

जोड़ और घटाव के साथ-साथ गुणा और भाग का ज्ञान हमें विभिन्न समीकरणों और समस्याओं को हल करने के साथ-साथ हमारे आस-पास की संख्याओं और संचालन की दुनिया में पूरी तरह से नेविगेट करने की अनुमति देता है।

निर्णय लेकर सामग्री ठीक करें समीकरण 3 ∙ (4x – 8) = 3x – 6.

1. कोष्ठक 3 ∙ (4x - 8) खोलें और 12x - 24 प्राप्त करें। हमारा समीकरण 12x - 24 = 3x - 6 हो गया है।

2. हम ऐसे ही प्रस्तुत करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम सभी घटकों को x से बाईं ओर और सभी संख्याओं को दाईं ओर ले जाते हैं।
हमें 12x - 24 = 3x - 6 → 12x - 3x = -6 + 24 → 9x = 18 मिलता है।

किसी घटक को समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में ले जाते समय, चिह्नों को विपरीत चिह्नों में बदलना न भूलें।

3. हम परिणामी समीकरण 9x = 18 को हल करते हैं, जहाँ से x = 18: 9 = 2. तो, हमारा उत्तर 2 है।

4. यह सुनिश्चित करने के लिए कि हमारा निर्णय सही है, आइए जाँच करें:

3 ∙ (4x - 8) = 3x - 6

3 (4 ∙ 2 - 8) = 3 ∙ 2 - 6

3 ∙ (8 – 8) = 6 – 6

0 = 0, इसलिए हमारा उत्तर सही है।

साइट, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक आवश्यक है।

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