व्युत्क्रम वियतनाम प्रमेय उदाहरण. विएटा का प्रमेय: द्विघात समीकरणों के साथ काम करते समय इसके उपयोग के उदाहरण

इस व्याख्यान में, हम द्विघात समीकरण की जड़ों और उसके गुणांकों के बीच के जिज्ञासु संबंधों से परिचित होंगे। इन संबंधों की खोज सबसे पहले फ्रांसीसी गणितज्ञ फ्रेंकोइस विएट (1540-1603) ने की थी।

उदाहरण के लिए, समीकरण Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0 के लिए, इसकी जड़ों को खोजने के बिना, आप विएटा प्रमेय का उपयोग करके तुरंत कह सकते हैं कि जड़ों का योग है, और जड़ों का उत्पाद है
यानी - 2. और समीकरण x 2 - 6x + 8 \u003d 0 के लिए हम निष्कर्ष निकालते हैं: जड़ों का योग 6 है, जड़ों का उत्पाद 8 है; वैसे, यह अनुमान लगाना कठिन नहीं है कि मूल किसके बराबर हैं: 4 और 2।
विएटा के प्रमेय का प्रमाण। द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c \u003d 0 के मूल x 1 और x 2 सूत्रों द्वारा पाए जाते हैं

जहाँ D = b 2 - 4ac समीकरण का विवेचक है। इन जड़ों को बिछाना
हम पाते हैं

अब हम मूल x 1 और x 2 के गुणनफल की गणना करते हैं

दूसरा संबंध सिद्ध है:
टिप्पणी। विएटा का प्रमेय उस स्थिति में भी मान्य है जब द्विघात समीकरण का एक मूल होता है (अर्थात, जब डी \u003d 0), बस इस मामले में यह माना जाता है कि समीकरण के दो समान मूल हैं, जिन पर उपरोक्त संबंध लागू होते हैं .
घटे हुए द्विघात समीकरण x 2 + px + q = 0 के लिए सिद्ध संबंध विशेष रूप से सरल रूप लेते हैं। इस मामले में, हमें मिलता है:

x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 = q
वे। दिए गए द्विघात समीकरण के मूलों का योग विपरीत चिह्न के साथ लिए गए दूसरे गुणांक के बराबर है, और मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर है।
विएटा प्रमेय का उपयोग करके, कोई द्विघात समीकरण के मूलों और गुणांकों के बीच अन्य संबंध भी प्राप्त कर सकता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि x 1 और x 2 घटे हुए द्विघात समीकरण x 2 + px + q = 0 के मूल हैं।

हालाँकि, विएटा के प्रमेय का मुख्य उद्देश्य यह नहीं है कि यह द्विघात समीकरण की जड़ों और गुणांकों के बीच कुछ संबंधों को व्यक्त करता है। इससे भी अधिक महत्वपूर्ण तथ्य यह है कि विएटा के प्रमेय की सहायता से, एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंड करने का एक सूत्र प्राप्त होता है, जिसके बिना हम भविष्य में काम नहीं करेंगे।

सबूत। हमारे पास है

उदाहरण 1. वर्ग त्रिपद 3x 2 - 10x + 3 का गुणनखंड करें।
समाधान। समीकरण Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0 को हल करने के बाद, हम वर्ग त्रिपद Zx 2 - 10x + 3: x 1 \u003d 3, x2 \u003d की जड़ें पाते हैं।
प्रमेय 2 का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है

इसके बजाय Zx - 1 लिखना समझ में आता है। तब हमें अंततः Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1) मिलता है।
ध्यान दें कि दिए गए वर्ग त्रिपद को प्रमेय 2 का उपयोग किए बिना, समूहीकरण विधि का उपयोग करके गुणनखंडित किया जा सकता है:

Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1)।

लेकिन, जैसा कि आप देख सकते हैं, इस विधि से सफलता इस बात पर निर्भर करती है कि हम एक सफल समूह ढूंढ सकते हैं या नहीं, जबकि पहली विधि से सफलता की गारंटी है।
उदाहरण 1. अंश कम करें

समाधान। समीकरण 2x 2 + 5x + 2 = 0 से हम x 1 = - 2 पाते हैं,

समीकरण x2 - 4x - 12 = 0 से हम x 1 = 6, x 2 = -2 पाते हैं। इसीलिए
x 2 - 4x - 12 = (x - 6) (x - (- 2)) = (x - 6) (x + 2)।
आइए अब दिए गए भिन्न को कम करें:

उदाहरण 3. भावों का गुणनखंडन करें:
ए) x4 + 5x 2 +6; बी) 2x+-3
समाधान. a) हम एक नया वेरिएबल y = x 2 प्रस्तुत करते हैं। यह हमें दी गई अभिव्यक्ति को चर y के संबंध में एक वर्ग त्रिपद के रूप में, अर्थात् y 2 + bу + 6 के रूप में फिर से लिखने की अनुमति देगा।
समीकरण y 2 + bу + 6 = 0 को हल करने के बाद, हम वर्ग त्रिपद y 2 + 5y + 6 की जड़ें पाते हैं: y 1 = - 2, y 2 = -3। अब हम प्रमेय 2 का उपयोग करते हैं; हम पाते हैं

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
यह याद रखना बाकी है कि y \u003d x 2, यानी, दिए गए अभिव्यक्ति पर लौटें। इसलिए,
x 4 + 5x 2 + 6 = (x 2 + 2) (x 2 + 3)।
बी) आइए एक नया वेरिएबल y = प्रस्तुत करें। यह आपको दी गई अभिव्यक्ति को चर y के संबंध में एक वर्ग त्रिपद के रूप में, अर्थात् 2y 2 + y - 3 के रूप में फिर से लिखने की अनुमति देगा। समीकरण को हल करने के बाद
2y 2 + y - 3 = 0, वर्ग त्रिपद 2y 2 + y - 3 के मूल ज्ञात कीजिए:
आप 1 = 1, आप 2 = . इसके अलावा, प्रमेय 2 का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

यह याद रखना बाकी है कि y \u003d, यानी, दिए गए अभिव्यक्ति पर वापस लौटें। इसलिए,

यह खंड कुछ विचारों के साथ समाप्त होता है, जो फिर से विएटा प्रमेय से जुड़ा है, या बल्कि, इसके विपरीत दावे के साथ:
यदि संख्याएँ x 1, x 2 ऐसी हैं कि x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q, तो ये संख्याएँ समीकरण के मूल हैं
इस कथन का उपयोग करके, आप बोझिल मूल सूत्रों का उपयोग किए बिना, कई द्विघात समीकरणों को मौखिक रूप से हल कर सकते हैं, और दिए गए मूलों के साथ द्विघात समीकरण भी बना सकते हैं। चलिए उदाहरण देते हैं.

1) x 2 - 11x + 24 = 0। यहाँ x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24। यह अनुमान लगाना आसान है कि x 1 = 8, x 2 = 3।

2) x 2 + 11x + 30 = 0. यहाँ x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30। यह अनुमान लगाना आसान है कि x 1 = -5, x 2 = -6।
कृपया ध्यान दें: यदि समीकरण का मुक्त पद एक धनात्मक संख्या है, तो दोनों मूल या तो धनात्मक या ऋणात्मक होते हैं; जड़ों का चयन करते समय इस पर विचार करना महत्वपूर्ण है।

3) x 2 + x - 12 = 0. यहाँ x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. यह अनुमान लगाना आसान है कि x 1 = 3, x2 = -4।
कृपया ध्यान दें: यदि समीकरण का मुक्त पद एक ऋणात्मक संख्या है, तो मूल चिह्न में भिन्न होते हैं; जड़ों का चयन करते समय इस पर विचार करना महत्वपूर्ण है।

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0। यह देखना आसान है कि x = 1 समीकरण को संतुष्ट करता है, अर्थात। x 1 = 1 - समीकरण का मूल। चूँकि x 1 x 2 \u003d -, और x 1 \u003d 1, हमें वह x 2 \u003d - मिलता है।

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. यहां x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. यदि आप इस तथ्य पर ध्यान दें कि 2830 = 283. 10, और 293 = 283 + 10, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि x 1 = 283, x 2 = 10 (अब कल्पना करें कि मानक सूत्रों का उपयोग करके इस द्विघात समीकरण को हल करने के लिए क्या गणनाएँ करनी होंगी)।

6) हम एक द्विघात समीकरण बनाते हैं ताकि संख्याएँ x 1 = 8, x 2 = - 4 इसके मूल के रूप में काम करें। आमतौर पर ऐसे मामलों में वे कम द्विघात समीकरण x 2 + px + q = 0 बनाते हैं।
हमारे पास x 1 + x 2 \u003d -p है, इसलिए 8 - 4 \u003d -p, यानी, p \u003d -4। इसके अलावा, x 1 x 2 = q, अर्थात। 8"(-4) = q, जहाँ से हमें q = -32 प्राप्त होता है। तो, p = -4, q = -32, जिसका अर्थ है कि वांछित द्विघात समीकरण का रूप x 2 -4x-32 = 0 है।

द्विघात समीकरण को हल करने की एक विधि अनुप्रयोग है VIETA सूत्र, जिसका नाम फ्रेंकोइस वियत के नाम पर रखा गया था।

वह एक प्रसिद्ध वकील थे और उन्होंने 16वीं शताब्दी में फ्रांसीसी राजा के साथ सेवा की थी। अपने खाली समय में उन्होंने खगोल विज्ञान और गणित का अध्ययन किया। उन्होंने द्विघात समीकरण के मूलों और गुणांकों के बीच संबंध स्थापित किया।

सूत्र के लाभ:

1 . फ़ॉर्मूला लागू करके आप तुरंत समाधान ढूंढ सकते हैं. क्योंकि आपको दूसरे गुणांक को वर्ग में दर्ज करने की आवश्यकता नहीं है, फिर इसमें से 4ac घटाएं, विवेचक ढूंढें, मूल खोजने के लिए सूत्र में इसके मान को प्रतिस्थापित करें।

2 . समाधान के बिना, आप जड़ों के लक्षण निर्धारित कर सकते हैं, जड़ों के मान उठा सकते हैं।

3 . दो अभिलेखों की प्रणाली को हल करने के बाद, जड़ों को स्वयं खोजना मुश्किल नहीं है। उपरोक्त द्विघात समीकरण में, मूलों का योग ऋण चिह्न वाले दूसरे गुणांक के मान के बराबर है। उपरोक्त द्विघात समीकरण में मूलों का गुणनफल तीसरे गुणांक के मान के बराबर है।

4 . दिए गए मूलों के अनुसार द्विघात समीकरण लिखिए अर्थात व्युत्क्रम समस्या को हल कीजिए। उदाहरण के लिए, इस पद्धति का उपयोग सैद्धांतिक यांत्रिकी में समस्याओं को हल करने में किया जाता है।

5 . जब अग्रणी गुणांक एक के बराबर हो तो सूत्र लागू करना सुविधाजनक होता है।

कमियां:

1 . सूत्र सार्वभौमिक नहीं है.

विएटा का प्रमेय ग्रेड 8

FORMULA
यदि x 1 और x 2 दिए गए द्विघात समीकरण x 2 + px + q = 0 के मूल हैं, तो:

उदाहरण
x 1 = -1; x 2 = 3 - समीकरण के मूल x 2 - 2x - 3 = 0।

पी = -2, क्यू = -3.

एक्स 1 + एक्स 2 = -1 + 3 = 2 = -पी,

एक्स 1 एक्स 2 = -1 3 = -3 = क्यू।

उलटा प्रमेय

FORMULA
यदि संख्याएँ x 1 , x 2 , p, q शर्तों से जुड़ी हैं:

तब x 1 और x 2 समीकरण x 2 + px + q = 0 के मूल हैं।

उदाहरण
आइए इसके मूलों से एक द्विघात समीकरण बनाएं:

एक्स 1 = 2 -? 3 और x 2 \u003d 2 +? 3 .

पी = x 1 + x 2 = 4; पी = -4; q = x 1 x 2 = (2 -? 3) (2 +? 3) = 4 - 3 = 1।

वांछित समीकरण का रूप है: x 2 - 4x + 1 = 0.

आठवीं कक्षा में विद्यार्थियों का परिचय कराया जाता है द्विघातीय समीकरणऔर उन्हें हल करने के तरीके. उसी समय, जैसा कि अनुभव से पता चलता है, अधिकांश छात्र पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करते समय केवल एक विधि का उपयोग करते हैं - एक द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र। अच्छे मौखिक गिनती कौशल वाले छात्रों के लिए, यह विधि स्पष्ट रूप से तर्कहीन है। हाई स्कूल में छात्रों को अक्सर द्विघात समीकरणों को हल करना पड़ता है, और वहां विवेचक की गणना करने में समय बर्बाद करना अफ़सोस की बात है। मेरी राय में, द्विघात समीकरणों का अध्ययन करते समय, विएटा प्रमेय के अनुप्रयोग पर अधिक समय और ध्यान दिया जाना चाहिए (ए.जी. मोर्दकोविच बीजगणित -8 के कार्यक्रम के अनुसार, "विएटा प्रमेय" विषय का अध्ययन करने के लिए केवल दो घंटे की योजना बनाई गई है। रैखिक गुणनखंडों में एक वर्ग त्रिपद”)।

अधिकांश बीजगणित पाठ्यपुस्तकों में, यह प्रमेय एक लघु द्विघात समीकरण के लिए तैयार किया गया है और यही कहता है यदि समीकरण की जड़ें हैं और, तो वे समानताएं संतुष्ट करते हैं।फिर विएटा के प्रमेय के अनुरूप एक कथन तैयार किया जाता है, और इस विषय पर काम करने के लिए कई उदाहरण पेश किए जाते हैं।

आइए विशिष्ट उदाहरण लें और विएटा के प्रमेय का उपयोग करके उन पर समाधान के तर्क का पता लगाएं।

उदाहरण 1. समीकरण हल करें.

मान लीजिए कि इस समीकरण की जड़ें हैं, अर्थात्, और। फिर, विएटा के प्रमेय द्वारा, समानताएँ

ध्यान दें कि जड़ों का गुणनफल एक धनात्मक संख्या है। अतः, समीकरण के मूलों का चिह्न समान है। और चूँकि मूलों का योग भी एक धनात्मक संख्या है, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि समीकरण के दोनों मूल धनात्मक हैं। आइए जड़ों के उत्पाद पर वापस जाएं। मान लें कि समीकरण के मूल धनात्मक पूर्णांक हैं। तब सही पहली समानता केवल दो तरीकों से प्राप्त की जा सकती है (कारकों के क्रम तक): या। आइए संख्याओं के प्रस्तावित युग्मों के लिए विएटा प्रमेय के दूसरे दावे की व्यवहार्यता की जाँच करें: . इस प्रकार, संख्याएँ 2 और 3 दोनों समानताओं को संतुष्ट करती हैं, और इसलिए दिए गए समीकरण की जड़ें हैं।

उत्तर: 2; 3.

विएटा प्रमेय का उपयोग करके दिए गए द्विघात समीकरण को हल करते समय हम तर्क के मुख्य चरणों को उजागर करते हैं:

• समीकरण के मूलों के चिह्न निर्धारित करें (यदि गुणनफल और मूलों का योग धनात्मक है, तो दोनों मूल धनात्मक संख्याएँ हैं। यदि मूलों का गुणनफल एक धनात्मक संख्या है, और मूलों का योग ऋणात्मक है, तो दोनों जड़ें ऋणात्मक संख्याएं हैं। यदि जड़ों का गुणनफल एक ऋणात्मक संख्या है, तो जड़ों के अलग-अलग चिह्न होते हैं। इसके अलावा, यदि जड़ों का योग धनात्मक है, तो बड़े मापांक वाला मूल एक धनात्मक संख्या है, और यदि मूलों का योग शून्य से कम है, तो अधिक मापांक वाला मूल एक ऋणात्मक संख्या है);
• पूर्णांकों के ऐसे युग्मों का चयन करें जिनका गुणनफल नोटेशन (*) में सही पहली समानता देता है;
• संख्याओं के पाए गए युग्मों में से, वह युग्म चुनें, जो संकेतन (*) में दूसरी समानता में प्रतिस्थापित करने पर, सही समानता देगा;
• उत्तर में समीकरण के पाए गए मूलों को इंगित करें।

चलिए कुछ और उदाहरण देते हैं.

उदाहरण 2: समीकरण को हल करें .

समाधान।

मान लीजिए कि दिए गए समीकरण के मूल हैं। फिर विएटा के प्रमेय द्वारा ध्यान दें कि उत्पाद सकारात्मक है और योग नकारात्मक है। अतः दोनों मूल ऋणात्मक संख्याएँ हैं। हम उन कारकों के जोड़े का चयन करते हैं जो 10 (-1 और -10; -2 और -5) का गुणनफल देते हैं। संख्याओं की दूसरी जोड़ी का योग -7 होता है। अतः संख्याएँ -2 और -5 इस समीकरण के मूल हैं।

उत्तर: -2; -5.

उदाहरण 3. समीकरण हल करें .

समाधान।

मान लीजिए कि दिए गए समीकरण के मूल हैं। फिर विएटा के प्रमेय से ध्यान दें कि उत्पाद नकारात्मक है। तो जड़ें अलग-अलग संकेतों की होती हैं। मूलों का योग भी एक ऋणात्मक संख्या है। इसलिए, सबसे बड़े मापांक वाला मूल ऋणात्मक है। हम उन कारकों के जोड़े का चयन करते हैं जो उत्पाद -10 (1 और -10; 2 और -5) देते हैं। संख्याओं की दूसरी जोड़ी का योग -3 होता है। अतः संख्याएँ 2 और -5 इस समीकरण के मूल हैं।

उत्तर: 2; -5.

ध्यान दें कि विएटा प्रमेय को सैद्धांतिक रूप से संपूर्ण द्विघात समीकरण के लिए तैयार किया जा सकता है: यदि द्विघात समीकरण जड़ें हैं और, फिर वे समानता को संतुष्ट करते हैं।हालाँकि, इस प्रमेय का अनुप्रयोग अपेक्षाकृत समस्याग्रस्त है, क्योंकि पूर्ण द्विघात समीकरण में कम से कम एक मूल (यदि कोई हो, निश्चित रूप से) एक भिन्नात्मक संख्या है। और भिन्नों के चयन के साथ काम करना लंबा और कठिन है। लेकिन फिर भी एक रास्ता है.

संपूर्ण द्विघात समीकरण पर विचार करें . समीकरण के दोनों पक्षों को पहले गुणांक से गुणा करें एऔर समीकरण को फॉर्म में लिखें . हम एक नया चर प्रस्तुत करते हैं और एक कम द्विघात समीकरण प्राप्त करते हैं, जिसकी जड़ें और (यदि कोई हों) विएटा प्रमेय का उपयोग करके पाई जा सकती हैं। तब मूल समीकरण की जड़ें होंगी। ध्यान दें कि सहायक कम समीकरण लिखना बहुत आसान है: दूसरा गुणांक संरक्षित है, और तीसरा गुणांक उत्पाद के बराबर है ऐस. एक निश्चित कौशल के साथ, छात्र तुरंत एक सहायक समीकरण बनाते हैं, विएटा प्रमेय का उपयोग करके इसकी जड़ें ढूंढते हैं और दिए गए पूर्ण समीकरण की जड़ों को इंगित करते हैं। चलिए उदाहरण देते हैं.

उदाहरण 4. समीकरण हल करें .

आइए एक सहायक समीकरण बनाएं और विएटा के प्रमेय से हम इसकी जड़ें ढूंढते हैं। तो मूल समीकरण की जड़ें .

उत्तर: .

उदाहरण 5. समीकरण हल करें .

सहायक समीकरण का रूप है। विएटा के प्रमेय के अनुसार, इसकी जड़ें हैं। हम मूल समीकरण की जड़ें ढूंढते हैं .

उत्तर: .

और एक और मामला जब विएटा के प्रमेय का अनुप्रयोग आपको मौखिक रूप से पूर्ण द्विघात समीकरण की जड़ें खोजने की अनुमति देता है। इसे साबित करना आसान है संख्या 1 समीकरण का मूल है , अगर और केवल अगर. समीकरण का दूसरा मूल विएटा प्रमेय द्वारा पाया जाता है और इसके बराबर है। एक और कथन: ताकि संख्या -1 समीकरण का मूल हो के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त है. फिर विएटा के प्रमेय के अनुसार समीकरण का दूसरा मूल बराबर है। घटे हुए द्विघात समीकरण के लिए समान कथन तैयार किए जा सकते हैं।

उदाहरण 6. समीकरण हल करें.

ध्यान दें कि समीकरण के गुणांकों का योग शून्य है। तो समीकरण की जड़ें .

उत्तर: .

उदाहरण 7. समीकरण हल करें.

इस समीकरण के गुणांक संपत्ति को संतुष्ट करते हैं (वास्तव में, 1-(-999)+(-1000)=0)। तो समीकरण की जड़ें .

उत्तर: ..

विएटा के प्रमेय के अनुप्रयोग के उदाहरण

कार्य 1. विएटा के प्रमेय का उपयोग करके दिए गए द्विघात समीकरण को हल करें।

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

कार्य 2. सहायक कम द्विघात समीकरण में संक्रमण का उपयोग करके पूर्ण द्विघात समीकरण को हल करें।

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

कार्य 3. गुण का उपयोग करके एक द्विघात समीकरण को हल करें।

द्विघात समीकरणों में अनेक संबंध होते हैं। इनमें से मुख्य हैं जड़ों और गुणांकों के बीच संबंध। इसके अलावा, कई रिश्ते द्विघात समीकरणों में काम करते हैं, जो विएटा प्रमेय द्वारा दिए गए हैं।

इस विषय में, हम विएटा प्रमेय और द्विघात समीकरण के लिए इसका प्रमाण प्रस्तुत करते हैं, विएटा के प्रमेय के विपरीत एक प्रमेय, और समस्याओं को हल करने के कई उदाहरणों का विश्लेषण करते हैं। हम सामग्री में विएटा सूत्रों के विचार पर विशेष ध्यान देंगे, जो डिग्री के बीजगणितीय समीकरण की वास्तविक जड़ों के बीच संबंध को परिभाषित करते हैं एनऔर इसके गुणांक.

विएटा के प्रमेय का कथन और प्रमाण

द्विघात समीकरण के मूलों का सूत्र ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0फॉर्म x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a, जहां डी = बी 2 − 4 ए सी, अनुपात स्थापित करता है x 1 + x 2 = - बी ए, एक्स 1 एक्स 2 = सी ए. इसकी पुष्टि विएटा के प्रमेय से होती है।

प्रमेय 1

द्विघात समीकरण में ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0, कहाँ एक्स 1और x2- जड़ें, जड़ों का योग गुणांकों के अनुपात के बराबर होगा बीऔर ए, जिसे विपरीत चिह्न के साथ लिया गया था, और मूलों का गुणनफल गुणांकों के अनुपात के बराबर होगा सीऔर ए, अर्थात। x 1 + x 2 = - बी ए, एक्स 1 एक्स 2 = सी ए.

प्रमाण 1

हम आपको प्रमाण के संचालन के लिए निम्नलिखित योजना प्रदान करते हैं: हम जड़ों का सूत्र लेते हैं, द्विघात समीकरण की जड़ों का योग और उत्पाद बनाते हैं और फिर परिणामी अभिव्यक्तियों को यह सुनिश्चित करने के लिए बदल देते हैं कि वे बराबर हैं -बी ० एऔर सीएक्रमश।

मूलों का योग x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a बनाएँ। आइये भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर में लाएँ - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. आइए परिणामी भिन्न के अंश में कोष्ठक खोलें और समान पद दें: - b + D + - b - D 2 a = - b + D - b - D 2 a = - 2 b 2 a। भिन्न को इससे कम करें: 2 - b a = - b a।

इसलिए हमने विएटा के प्रमेय का पहला संबंध सिद्ध कर दिया है, जो द्विघात समीकरण की जड़ों के योग को संदर्भित करता है।

अब दूसरे रिश्ते पर चलते हैं.

ऐसा करने के लिए, हमें द्विघात समीकरण की जड़ों के उत्पाद की रचना करने की आवश्यकता है: x 1 x 2 \u003d - b + D 2 a - b - D 2 a।

भिन्नों को गुणा करने का नियम याद करें और अंतिम गुणनफल इस प्रकार लिखें: - b + D · - b - D 4 · a 2।

हम भिन्न के अंश में कोष्ठक द्वारा कोष्ठक का गुणन करेंगे, या हम इस उत्पाद को तेजी से बदलने के लिए वर्गों के अंतर के सूत्र का उपयोग करेंगे: - बी + डी · - बी - डी 4 · ए 2 = - बी 2 - डी 2 4 · ए 2।

आइए परिभाषा का उपयोग करें वर्गमूलनिम्नलिखित परिवर्तन करने के लिए: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2। FORMULA डी = बी 2 − 4 ए सीद्विघात समीकरण के विभेदक से मेल खाता है, इसलिए, इसके बजाय भिन्न में डीप्रतिस्थापित किया जा सकता है बी 2 − 4 ए सी:

बी 2 - डी 4 ए 2 = बी 2 - (बी 2 - 4 ए सी) 4 ए 2

आइए कोष्ठक खोलें, समान पद दें और प्राप्त करें: 4 · ए · सी 4 · ए 2। अगर हम इसे छोटा कर दें 4 ए, तो c a शेष रहता है। इसलिए हमने जड़ों के गुणनफल के लिए विएटा प्रमेय का दूसरा संबंध सिद्ध कर दिया है।

यदि हम स्पष्टीकरणों को छोड़ दें तो विएटा के प्रमेय के प्रमाण का रिकॉर्ड बहुत संक्षिप्त रूप में हो सकता है:

x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a = - b + D + - b - D 2 a = - 2 b 2 a = - b a, x 1 x 2 = - बी + डी 2 ए - बी - डी 2 ए = - बी + डी - बी - डी 4 ए 2 = - बी 2 - डी 2 4 ए 2 = बी 2 - डी 4 ए 2 = = डी = बी 2 - 4 ए सी = बी 2 - बी 2 - 4 ए सी 4 ए 2 = 4 ए सी 4 ए 2 = सी ए।

द्विघात समीकरण के विभेदक के साथ शून्यसमीकरण का केवल एक मूल होगा। ऐसे समीकरण पर विएटा के प्रमेय को लागू करने में सक्षम होने के लिए, हम मान सकते हैं कि शून्य के बराबर विभेदक वाले समीकरण की दो समान जड़ें हैं। वास्तव में, पर डी=0द्विघात समीकरण का मूल है: - b 2 a, फिर x 1 + x 2 = - b 2 a + - b 2 a = - b + (- b) 2 a = - 2 b 2 a = - बी ए और एक्स 1 एक्स 2 = - बी 2 ए - बी 2 ए = - बी - बी 4 ए 2 = बी 2 4 ए 2, और चूंकि डी = 0, यानी बी 2 - 4 ए सी = 0, जहाँ से b 2 = 4 a c, फिर b 2 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a।

व्यवहार में अक्सर, विएटा प्रमेय को फॉर्म के कम किए गए द्विघात समीकरण के संबंध में लागू किया जाता है एक्स 2 + पी एक्स + क्यू = 0, जहां अग्रणी गुणांक a 1 के बराबर है। इस संबंध में, विएटा का प्रमेय इस प्रकार के समीकरणों के लिए सटीक रूप से तैयार किया गया है। यह इस तथ्य के कारण व्यापकता को सीमित नहीं करता है कि किसी भी द्विघात समीकरण को समकक्ष समीकरण द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए इसके दोनों भागों को संख्या a से विभाजित करना आवश्यक है, जो शून्य से भिन्न है।

आइए विएटा के प्रमेय का एक और सूत्रीकरण दें।

प्रमेय 2

दिए गए द्विघात समीकरण में मूलों का योग एक्स 2 + पी एक्स + क्यू = 0 x पर गुणांक के बराबर होगा, जिसे विपरीत चिह्न के साथ लिया जाता है, मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर होगा, अर्थात। x 1 + x 2 = - पी, x 1 x 2 = क्यू।

प्रमेय विएटा के प्रमेय के विपरीत है

यदि आप विएटा के प्रमेय के दूसरे सूत्रीकरण को ध्यान से देखें, तो आप उसे जड़ों के लिए देख सकते हैं एक्स 1और x2कम द्विघात समीकरण एक्स 2 + पी एक्स + क्यू = 0संबंध x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q मान्य होंगे। इन संबंधों से x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, यह निम्नानुसार है एक्स 1और x2द्विघात समीकरण की जड़ें हैं एक्स 2 + पी एक्स + क्यू = 0. इस प्रकार हम एक कथन पर पहुंचते हैं जो विएटा के प्रमेय का उलटा है।

अब हम इस कथन को एक प्रमेय के रूप में औपचारिक रूप देने और इसका प्रमाण देने का प्रस्ताव करते हैं।

प्रमेय 3

यदि संख्याएँ एक्स 1और x2ऐसे हैं एक्स 1 + एक्स 2 = − पीऔर एक्स 1 एक्स 2 = क्यू, वह एक्स 1और x2घटे हुए द्विघात समीकरण की जड़ें हैं एक्स 2 + पी एक्स + क्यू = 0.

प्रमाण 2

गुणांकों का परिवर्तन पीऔर क्यूके माध्यम से उनकी अभिव्यक्ति के लिए एक्स 1और x2आपको समीकरण बदलने की अनुमति देता है एक्स 2 + पी एक्स + क्यू = 0समकक्ष में .

यदि हम परिणामी समीकरण में संख्या को प्रतिस्थापित करते हैं एक्स 1के बजाय एक्स, तो हमें समानता मिलती है x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. यह समानता किसी के लिए भी नहीं एक्स 1और x2वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल जाता है 0 = 0 , क्योंकि x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 - x 1 2 - x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. यह मतलब है कि एक्स 1- समीकरण की जड़ x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, तो क्या हुआ एक्स 1समतुल्य समीकरण का मूल भी है एक्स 2 + पी एक्स + क्यू = 0.

समीकरण प्रतिस्थापन x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0नंबर x2 x के बजाय आपको समानता प्राप्त करने की अनुमति देता है x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. इस समानता को तब से सत्य माना जा सकता है एक्स 2 2 - (एक्स 1 + एक्स 2) एक्स 2 + एक्स 1 एक्स 2 = एक्स 2 2 - एक्स 1 एक्स 2 - एक्स 2 2 + एक्स 1 एक्स 2 = 0. यह पता चला है कि x2समीकरण का मूल है x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, और इसलिए समीकरण एक्स 2 + पी एक्स + क्यू = 0.

विएटा के प्रमेय का विपरीत प्रमेय सिद्ध हो गया है।

विएटा के प्रमेय का उपयोग करने के उदाहरण

आइए अब विषय पर सबसे विशिष्ट उदाहरणों के विश्लेषण के लिए आगे बढ़ें। आइए उन समस्याओं के विश्लेषण से शुरुआत करें जिनके लिए प्रमेय के अनुप्रयोग की आवश्यकता होती है, व्युत्क्रम प्रमेयविएटा। इसका उपयोग गणना के दौरान प्राप्त संख्याओं की जांच करने के लिए किया जा सकता है कि क्या वे किसी दिए गए द्विघात समीकरण की जड़ें हैं। ऐसा करने के लिए, आपको उनके योग और अंतर की गणना करने की आवश्यकता है, और फिर अनुपात x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = a c की वैधता की जांच करें।

दोनों संबंधों की पूर्ति इंगित करती है कि गणना के दौरान प्राप्त संख्याएँ समीकरण की जड़ें हैं। यदि हम देखते हैं कि कम से कम एक शर्त पूरी नहीं हुई है, तो ये संख्याएँ समस्या की स्थिति में दिए गए द्विघात समीकरण की जड़ें नहीं हो सकती हैं।

उदाहरण 1

संख्याओं का कौन सा जोड़ा 1) x 1 = - 5, x 2 = 3, या 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3, या 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 द्विघात समीकरण के मूलों का एक युग्म है 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?

समाधान

द्विघात समीकरण के गुणांक ज्ञात कीजिए 4 x 2 − 16 x + 9 = 0।यह a = 4 , b = − 16 , c = 9 है। विएटा प्रमेय के अनुसार, द्विघात समीकरण की जड़ों का योग बराबर होना चाहिए -बी ० ए, वह है, 16 4 = 4 , और जड़ों का गुणनफल बराबर होना चाहिए सीए, वह है, 9 4 .

आइए तीन दिए गए युग्मों से संख्याओं के योग और उत्पाद की गणना करके और प्राप्त मूल्यों के साथ उनकी तुलना करके प्राप्त संख्याओं की जांच करें।

पहले मामले में एक्स 1 + एक्स 2 = - 5 + 3 = - 2. यह मान 4 से भिन्न है, इसलिए आपको जाँच जारी रखने की आवश्यकता नहीं है। प्रमेय के अनुसार, विएटा के प्रमेय का व्युत्क्रम, हम तुरंत यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि संख्याओं का पहला जोड़ा इस द्विघात समीकरण की जड़ें नहीं हैं।

दूसरे मामले में x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. हम देखते हैं कि पहली शर्त पूरी हो गई है। लेकिन दूसरी शर्त यह नहीं है: x 1 x 2 = 1 - 3 3 + 3 = 3 + 3 - 3 3 - 3 = - 2 3। हमें जो मूल्य मिला वह भिन्न है 9 4 . इसका मतलब यह है कि संख्याओं का दूसरा जोड़ा द्विघात समीकरण के मूल नहीं हैं।

चलिए तीसरी जोड़ी की ओर बढ़ते हैं। यहां x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 और x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4 . दोनों स्थितियाँ संतुष्ट हैं, जिसका अर्थ है एक्स 1और x2दिए गए द्विघात समीकरण की जड़ें हैं।

उत्तर: x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2

हम द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए विएटा के प्रमेय के व्युत्क्रम का भी उपयोग कर सकते हैं। पूर्णांक गुणांक वाले दिए गए द्विघात समीकरणों की पूर्णांक जड़ों का चयन करना सबसे आसान तरीका है। अन्य विकल्पों पर भी विचार किया जा सकता है. लेकिन इससे गणनाएँ काफ़ी जटिल हो सकती हैं.

मूलों का चयन करने के लिए, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि यदि दो संख्याओं का योग, ऋण चिह्न के साथ लिए गए द्विघात समीकरण के दूसरे गुणांक के बराबर है, और इन संख्याओं का गुणनफल मुक्त पद के बराबर है, तो ये संख्याएँ हैं इस द्विघात समीकरण की जड़ें.

उदाहरण 2

उदाहरण के तौर पर, हम द्विघात समीकरण का उपयोग करते हैं एक्स 2 − 5 एक्स + 6 = 0. नंबर एक्स 1और x2यदि दोनों समानताएँ संतुष्ट हों तो इस समीकरण की जड़ें हो सकती हैं x1 + x2 = 5और एक्स 1 एक्स 2 = 6. आइए उन नंबरों को चुनें। ये संख्या 2 और 3 हैं क्योंकि 2 + 3 = 5 और 2 3 = 6. इससे पता चलता है कि 2 और 3 इस द्विघात समीकरण के मूल हैं।

विएटा के प्रमेय के व्युत्क्रम का उपयोग दूसरे मूल को खोजने के लिए किया जा सकता है जब पहला ज्ञात या स्पष्ट हो। इसके लिए हम अनुपात x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a का उपयोग कर सकते हैं।

उदाहरण 3

द्विघात समीकरण पर विचार करें 512 x 2 - 509 x - 3 = 0. हमें इस समीकरण की जड़ें खोजने की जरूरत है।

समाधान

समीकरण का पहला मूल 1 है क्योंकि इस द्विघात समीकरण के गुणांकों का योग शून्य है। यह पता चला है कि एक्स 1 = 1.

आइए अब दूसरा मूल खोजें। ऐसा करने के लिए, आप अनुपात का उपयोग कर सकते हैं एक्स 1 एक्स 2 = सी ए. यह पता चला है कि 1 x 2 = − 3 512, कहाँ x 2 \u003d - 3 512.

उत्तर:समस्या की स्थिति में निर्दिष्ट द्विघात समीकरण की जड़ें 1 और - 3 512 .

केवल साधारण मामलों में विएटा के प्रमेय के विपरीत प्रमेय का उपयोग करके जड़ों का चयन करना संभव है। अन्य मामलों में, विवेचक के माध्यम से द्विघात समीकरण की जड़ों के सूत्र का उपयोग करके खोज करना बेहतर है।

विएटा के व्युत्क्रम प्रमेय के लिए धन्यवाद, हम मूलों को देखते हुए द्विघात समीकरण भी बना सकते हैं एक्स 1और x2. ऐसा करने के लिए, हमें मूलों के योग की गणना करने की आवश्यकता है, जो गुणांक देता है एक्सघटे हुए द्विघात समीकरण के विपरीत चिह्न और मूलों के गुणनफल के साथ, जो मुक्त पद देता है।

उदाहरण 4

एक द्विघात समीकरण लिखिए जिसके मूल संख्याएँ हों − 11 और 23 .

समाधान

चलिए इसे स्वीकार करते हैं एक्स 1 = − 11और x2 = 23. इन संख्याओं का योग और गुणनफल बराबर होगा: x1 + x2 = 12और एक्स 1 एक्स 2 = − 253. इसका मतलब यह है कि दूसरा गुणांक 12 है, मुक्त पद − 253.

हम एक समीकरण बनाते हैं: x 2 - 12 x - 253 = 0.

उत्तर: एक्स 2 - 12 एक्स - 253 = 0।

हम उन समस्याओं को हल करने के लिए विएटा प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं जो द्विघात समीकरणों की जड़ों के संकेतों से संबंधित हैं। विएटा के प्रमेय के बीच का संबंध घटे हुए द्विघात समीकरण की जड़ों के संकेतों से संबंधित है एक्स 2 + पी एक्स + क्यू = 0इस अनुसार:

• यदि द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक हों और यदि मुक्त पद हो क्यूएक धनात्मक संख्या है, तो इन जड़ों पर एक ही चिह्न "+" या "-" होगा;
• यदि द्विघात समीकरण के मूल हों और यदि मुक्त पद हो क्यूएक ऋणात्मक संख्या है, तो एक मूल "+" और दूसरा "-" होगा।

ये दोनों कथन सूत्र का परिणाम हैं एक्स 1 एक्स 2 = क्यूऔर धनात्मक तथा को गुणा करने के नियम नकारात्मक संख्याएँ, साथ ही विभिन्न चिह्नों वाली संख्याएँ।

उदाहरण 5

द्विघात समीकरण की जड़ें हैं x 2 - 64 x - 21 = 0सकारात्मक?

समाधान

विएटा के प्रमेय के अनुसार, इस समीकरण की जड़ें सकारात्मक नहीं हो सकतीं, क्योंकि उन्हें समानता को संतुष्ट करना होगा एक्स 1 एक्स 2 = − 21. सकारात्मकता के साथ यह संभव नहीं है एक्स 1और x2.

उत्तर:नहीं

उदाहरण 6

पैरामीटर के किस मान पर आरद्विघात समीकरण x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0अलग-अलग चिन्हों वाली दो वास्तविक जड़ें होंगी।

समाधान

आइए किसका मान ज्ञात करके प्रारंभ करें आर, जिसके लिए समीकरण की दो जड़ें हैं। आइए विवेचक को खोजें और देखें कि क्या है आरयह सकारात्मक मूल्य लेगा. डी = (आर + 2) 2 - 4 1 (आर - 1) = आर 2 + 4 आर + 4 - 4 आर + 4 = आर 2 + 8. अभिव्यक्ति मूल्य आर2 + 8किसी भी वास्तविक के लिए सकारात्मक आर, इसलिए, किसी भी वास्तविक के लिए विवेचक शून्य से अधिक होगा आर. इसका मतलब यह है कि मूल द्विघात समीकरण में पैरामीटर के किसी भी वास्तविक मान के लिए दो जड़ें होंगी आर.

अब देखते हैं कि जड़ों में अलग-अलग लक्षण कब आते हैं। यह तभी संभव है जब उनका उत्पाद नकारात्मक हो। विएटा प्रमेय के अनुसार, घटे हुए द्विघात समीकरण के मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर होता है। तो सही समाधान वे मान हैं आर, जिसके लिए मुक्त पद r − 1 ऋणात्मक है। हम रैखिक असमानता r - 1 को हल करते हैं< 0 , получаем r < 1 .

उत्तर:आर पर< 1 .

वियतनाम सूत्र

ऐसे कई सूत्र हैं जो न केवल वर्ग, बल्कि घन और अन्य प्रकार के समीकरणों की जड़ों और गुणांकों के साथ संचालन करने के लिए लागू होते हैं। इन्हें विएटा सूत्र कहा जाता है।

डिग्री के बीजगणितीय समीकरण के लिए एन a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + के रूप का। . . + a n - 1 x + a n = 0 समीकरण माना जाता है एनअसली जड़ें एक्स 1 , एक्स 2 , … , एक्स एन, जिसमें निम्नलिखित शामिल हो सकते हैं:
एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3 +। . . + x n = - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 +। . . + x n - 1 x n = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 +। . . + एक्स एन - 2 एक्स एन - 1 एक्स एन = - ए 3 ए 0,। . . एक्स 1 एक्स 2 एक्स 3 . . . x n = (- 1) n a n a 0

परिभाषा 1

Vieta सूत्र प्राप्त करने में हमारी सहायता करें:

• एक बहुपद को रैखिक गुणनखंडों में विघटित करने पर प्रमेय;
• उनके सभी संगत गुणांकों की समानता के माध्यम से समान बहुपदों की परिभाषा।

तो, बहुपद a 0 x n + a 1 x n - 1 +। . . + a n - 1 · x + a n और इसका विस्तार a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · रूप के रैखिक गुणनखंडों में होता है। . . · (x - x n) बराबर हैं.

यदि हम अंतिम उत्पाद में कोष्ठक खोलते हैं और संबंधित गुणांकों को बराबर करते हैं, तो हमें विएटा सूत्र मिलते हैं। n = 2 लेते हुए, हम द्विघात समीकरण के लिए Vieta सूत्र प्राप्त कर सकते हैं: x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 x 2 = a 2 a 0।

परिभाषा 2

घन समीकरण के लिए विएटा का सूत्र:
एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3 = - ए 1 ए 0, एक्स 1 एक्स 2 + एक्स 1 एक्स 3 + एक्स 2 एक्स 3 = ए 2 ए 0, एक्स 1 एक्स 2 एक्स 3 = - ए 3 ए 0

विएटा सूत्रों के बाईं ओर तथाकथित प्राथमिक सममित बहुपद शामिल हैं।

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गणित में ऐसी विशेष तरकीबें होती हैं जिनकी मदद से कई द्विघात समीकरण बहुत जल्दी और बिना किसी भेदभाव के हल हो जाते हैं। इसके अलावा, उचित प्रशिक्षण के साथ, कई लोग द्विघात समीकरणों को मौखिक रूप से, शाब्दिक रूप से "एक नज़र में" हल करना शुरू करते हैं।

दुर्भाग्य से, स्कूली गणित के आधुनिक पाठ्यक्रम में ऐसी तकनीकों का लगभग अध्ययन नहीं किया जाता है। और आपको जानना आवश्यक है! और आज हम इन तकनीकों में से एक पर विचार करेंगे - विएटा का प्रमेय। सबसे पहले, आइए एक नई परिभाषा प्रस्तुत करें।

x 2 + bx + c = 0 के रूप का द्विघात समीकरण घटा हुआ कहलाता है। कृपया ध्यान दें कि x 2 पर गुणांक 1 के बराबर है। गुणांक पर कोई अन्य प्रतिबंध नहीं हैं।

1. x 2 + 7x + 12 = 0 घटा हुआ द्विघात समीकरण है;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 भी कम हो गया है;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - लेकिन यह कुछ भी कम नहीं है, क्योंकि x 2 पर गुणांक 2 है।

बेशक, ax 2 + bx + c = 0 के रूप के किसी भी द्विघात समीकरण को छोटा किया जा सकता है - यह सभी गुणांकों को संख्या a से विभाजित करने के लिए पर्याप्त है। हम ऐसा हमेशा कर सकते हैं, क्योंकि द्विघात समीकरण की परिभाषा का अर्थ है कि a ≠ 0.

सच है, ये परिवर्तन जड़ें खोजने के लिए हमेशा उपयोगी नहीं होंगे। थोड़ा नीचे, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि ऐसा तभी किया जाना चाहिए जब अंतिम वर्ग समीकरण में सभी गुणांक पूर्णांक हों। अभी के लिए, आइए कुछ सरल उदाहरण देखें:

काम। द्विघात समीकरण को निम्न में बदलें:

1. 3x2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x2 + 32x + 16 = 0;
3. 1.5x2 + 7.5x + 3 = 0;
4. 2x2 + 7x − 11 = 0.

आइए प्रत्येक समीकरण को चर x 2 के गुणांक से विभाजित करें। हम पाते हैं:

1. 3x 2 - 12x + 18 \u003d 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 \u003d 0 - सब कुछ 3 से विभाजित;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - −4 से विभाजित;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - 1.5 से विभाजित करने पर सभी गुणांक पूर्णांक बन गए;
4. 2x 2 + 7x - 11 = 0 ⇒ x 2 + 3.5x - 5.5 = 0 - 2 से विभाजित। इस मामले में, भिन्नात्मक गुणांक उत्पन्न हुए।

जैसा कि आप देख सकते हैं, दिए गए द्विघात समीकरण में पूर्णांक गुणांक हो सकते हैं, भले ही मूल समीकरण में भिन्न हों।

अब हम मुख्य प्रमेय तैयार करते हैं, जिसके लिए, वास्तव में, एक कम द्विघात समीकरण की अवधारणा पेश की गई थी:

विएटा का प्रमेय. x 2 + bx + c \u003d 0 के रूप के घटे हुए द्विघात समीकरण पर विचार करें। मान लीजिए कि इस समीकरण के वास्तविक मूल x 1 और x 2 हैं। इस मामले में, निम्नलिखित कथन सत्य हैं:

1. x1 + x2 = −b. दूसरे शब्दों में, दिए गए द्विघात समीकरण की जड़ों का योग विपरीत चिह्न के साथ लिए गए चर x के गुणांक के बराबर है;
2. एक्स 1 एक्स 2 = सी. द्विघात समीकरण के मूलों का गुणनफल मुक्त गुणांक के बराबर होता है।

उदाहरण। सरलता के लिए, हम केवल दिए गए द्विघात समीकरणों पर विचार करेंगे जिनमें अतिरिक्त परिवर्तनों की आवश्यकता नहीं है:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; एक्स 1 एक्स 2 = 20; जड़ें: x 1 = 4; x 2 = 5;
2. x 2 + 2x - 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = -2; x 1 x 2 = -15; जड़ें: x 1 = 3; x 2 = -5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; एक्स 1 एक्स 2 = 4; जड़ें: x 1 = -1; x 2 = -4.

विएटा का प्रमेय हमें द्विघात समीकरण की जड़ों के बारे में अतिरिक्त जानकारी देता है। पहली नज़र में, यह जटिल लग सकता है, लेकिन न्यूनतम प्रशिक्षण के साथ भी, आप जड़ों को "देखना" सीखेंगे और कुछ ही सेकंड में उनका अनुमान लगा लेंगे।

काम। द्विघात समीकरण को हल करें:

1. x2 − 9x + 14 = 0;
2. एक्स 2 - 12एक्स + 27 = 0;
3. 3x2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x2 + 77x − 210 = 0.

आइए विएटा प्रमेय के अनुसार गुणांक लिखने का प्रयास करें और जड़ों का "अनुमान" लगाएं:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 एक लघु द्विघात समीकरण है।
   विएटा प्रमेय के अनुसार, हमारे पास है: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 x 2 = 14. यह देखना आसान है कि मूल संख्याएँ 2 और 7 हैं;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 भी कम हो गया है।
   विएटा प्रमेय के अनुसार: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. अत: मूल: 3 और 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - यह समीकरण कम नहीं हुआ है। लेकिन अब हम समीकरण के दोनों पक्षों को गुणांक a = 3 से विभाजित करके इसे ठीक करेंगे। हमें मिलता है: x 2 + 11x + 10 = 0।
   हम विएटा प्रमेय के अनुसार हल करते हैं: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ मूल: −10 और −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - फिर से x 2 पर गुणांक 1 के बराबर नहीं है, अर्थात। समीकरण नहीं दिया गया. हम हर चीज़ को संख्या a = −7 से विभाजित करते हैं। हमें मिलता है: x 2 - 11x + 30 = 0.
   विएटा प्रमेय के अनुसार: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; इन समीकरणों से मूलों का अनुमान लगाना आसान है: 5 और 6।

उपरोक्त तर्क से यह देखा जा सकता है कि विएटा का प्रमेय किस प्रकार द्विघात समीकरणों के समाधान को सरल बनाता है। कोई नहीं जटिल गणना, कोई अंकगणितीय मूल और भिन्न नहीं। और यहां तक ​​कि विवेचक (पाठ "द्विघात समीकरणों को हल करना" देखें) की भी हमें आवश्यकता नहीं थी।

निःसंदेह, अपने सभी चिंतन में, हम दो महत्वपूर्ण धारणाओं से आगे बढ़े, जो आम तौर पर वास्तविक समस्याओं में हमेशा पूरी नहीं होती हैं:

1. द्विघात समीकरण कम हो गया है, अर्थात। x 2 पर गुणांक 1 है;
2. समीकरण की दो अलग-अलग जड़ें हैं। बीजगणित के दृष्टिकोण से, इस मामले में विवेचक D > 0 - वास्तव में, हम शुरू में मानते हैं कि यह असमानता सत्य है।

हालाँकि, ठेठ में गणितीय समस्याएँये शर्तें पूरी होती हैं. यदि गणना का परिणाम एक "खराब" द्विघात समीकरण है (x 2 पर गुणांक 1 से भिन्न है), तो इसे ठीक करना आसान है - पाठ की शुरुआत में उदाहरणों पर एक नज़र डालें। मैं आमतौर पर जड़ों के बारे में चुप रहता हूं: यह कैसा कार्य है जिसमें कोई उत्तर नहीं है? निःसंदेह जड़ें होंगी।

इस प्रकार, विएटा प्रमेय के अनुसार द्विघात समीकरणों को हल करने की सामान्य योजना इस प्रकार है:

1. यदि समस्या की स्थिति में यह पहले से नहीं किया गया है, तो दिए गए द्विघात समीकरण को कम करें;
2. यदि उपरोक्त द्विघात समीकरण में गुणांक भिन्नात्मक निकले, तो हम विवेचक के माध्यम से हल करते हैं। आप अधिक "सुविधाजनक" संख्याओं के साथ काम करने के लिए मूल समीकरण पर वापस भी जा सकते हैं;
3. पूर्णांक गुणांकों के मामले में, हम विएटा प्रमेय का उपयोग करके समीकरण को हल करते हैं;
4. यदि कुछ सेकंड के भीतर जड़ों का अनुमान लगाना संभव नहीं था, तो हम विएटा प्रमेय पर स्कोर करते हैं और विवेचक के माध्यम से हल करते हैं।

काम। समीकरण हल करें: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

तो, हमारे पास एक समीकरण है जो कम नहीं हुआ है, क्योंकि गुणांक ए \u003d 5. सब कुछ 5 से विभाजित करें, हमें मिलता है: x 2 - 7x + 10 \u003d 0।

द्विघात समीकरण के सभी गुणांक पूर्णांक हैं - आइए विएटा के प्रमेय का उपयोग करके इसे हल करने का प्रयास करें। हमारे पास है: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 = 10. इस मामले में, जड़ों का अनुमान लगाना आसान है - ये 2 और 5 हैं। आपको विवेचक के माध्यम से गिनने की आवश्यकता नहीं है।

काम। समीकरण हल करें: -5x 2 + 8x - 2.4 = 0.

हम देखते हैं: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 - यह समीकरण कम नहीं होता है, हम दोनों पक्षों को गुणांक a = −5 से विभाजित करते हैं। हमें मिलता है: x 2 - 1.6x + 0.48 = 0 - भिन्नात्मक गुणांक वाला एक समीकरण।

मूल समीकरण पर लौटना और विवेचक के माध्यम से गणना करना बेहतर है: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 (−5) (−2.4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1.2 ; x 2 = 0.4.

काम। समीकरण हल करें: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

आरंभ करने के लिए, हम हर चीज़ को गुणांक a = 2 से विभाजित करते हैं। हमें समीकरण x 2 + 5x - 300 = 0 मिलता है।

यह विएटा प्रमेय के अनुसार घटा हुआ समीकरण है, हमारे पास है: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = -300। इस मामले में द्विघात समीकरण की जड़ों का अनुमान लगाना मुश्किल है - व्यक्तिगत रूप से, जब मैंने इस समस्या को हल किया तो मैं गंभीरता से "जम गया"।

हमें विवेचक के माध्यम से जड़ों की तलाश करनी होगी: D = 5 2 − 4 1 (−300) = 1225 = 35 2। यदि आपको विभेदक का मूल याद नहीं है, तो मैं केवल यह नोट करूंगा कि 1225: 25 = 49। इसलिए, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2।

अब जब विभेदक का मूल ज्ञात हो गया है, तो समीकरण को हल करना कठिन नहीं है। हमें मिलता है: x 1 = 15; x 2 = -20.