किसी जटिल फ़ंक्शन के उदाहरणों में अंतर कैसे करें. डेरिवेटिव की गणना के लिए नियम

अगर जी(एक्स) और एफ(यू) बिंदुओं पर क्रमशः उनके तर्कों के भिन्न-भिन्न कार्य हैं एक्सऔर यू= जी(एक्स), तब जटिल फलन भी बिंदु पर अवकलनीय होता है एक्सऔर सूत्र द्वारा पाया जाता है

डेरिवेटिव पर समस्याओं को हल करने में एक सामान्य गलती सरल कार्यों को जटिल कार्यों में विभेदित करने के नियमों का स्वचालित स्थानांतरण है। हम इस गलती से बचना सीखेंगे.

उदाहरण 2किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

ग़लत समाधान:कोष्ठक में प्रत्येक पद के प्राकृतिक लघुगणक की गणना करें और व्युत्पन्नों का योग ज्ञात करें:

सही समाधान:फिर से हम यह निर्धारित करते हैं कि "सेब" कहाँ है और "कीमा बनाया हुआ मांस" कहाँ है। यहां, कोष्ठक में अभिव्यक्ति का प्राकृतिक लघुगणक "सेब" है, अर्थात, मध्यवर्ती तर्क पर कार्य यू, और कोष्ठक में अभिव्यक्ति "कीमा बनाया हुआ मांस" है, जो एक मध्यवर्ती तर्क है यूस्वतंत्र चर द्वारा एक्स.

फिर (व्युत्पन्न तालिका से सूत्र 14 का उपयोग करके)

कई वास्तविक समस्याओं में, लघुगणक के साथ अभिव्यक्ति कुछ अधिक जटिल होती है, यही कारण है कि एक पाठ है

उदाहरण 3किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

ग़लत समाधान:

सही समाधान.एक बार फिर, हम यह निर्धारित करते हैं कि कहाँ "सेब" और कहाँ "कीमा बनाया हुआ मांस"। यहां, कोष्ठक में अभिव्यक्ति का कोसाइन (व्युत्पन्न तालिका में सूत्र 7) "सेब" है, इसे मोड 1 में तैयार किया गया है, जो केवल इसे प्रभावित करता है, और कोष्ठक में अभिव्यक्ति (डिग्री का व्युत्पन्न - संख्या 3 में) डेरिवेटिव की तालिका) "कीमा बनाया हुआ मांस" है, इसे मोड 2 में पकाया जाता है, केवल इसे प्रभावित करता है। और हमेशा की तरह, हम दो डेरिवेटिव को उत्पाद चिह्न से जोड़ते हैं। परिणाम:

एक जटिल लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न परीक्षणों में एक लगातार कार्य है, इसलिए हम दृढ़ता से अनुशंसा करते हैं कि आप "लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न" पाठ देखें।

पहले उदाहरण जटिल कार्यों के लिए थे, जिसमें स्वतंत्र चर पर मध्यवर्ती तर्क एक सरल कार्य था। लेकिन व्यावहारिक कार्यों में अक्सर एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने की आवश्यकता होती है, जहां मध्यवर्ती तर्क या तो स्वयं एक जटिल फ़ंक्शन होता है या इसमें ऐसा कोई फ़ंक्शन होता है। ऐसे मामलों में क्या करें? तालिकाओं और विभेदीकरण नियमों का उपयोग करके ऐसे कार्यों के व्युत्पन्न खोजें। जब मध्यवर्ती तर्क का व्युत्पन्न पाया जाता है, तो इसे सूत्र में सही स्थान पर प्रतिस्थापित कर दिया जाता है। यह कैसे किया जाता है इसके दो उदाहरण नीचे दिए गए हैं।

इसके अतिरिक्त, निम्नलिखित जानना उपयोगी है। यदि एक जटिल फ़ंक्शन को तीन कार्यों की श्रृंखला के रूप में दर्शाया जा सकता है

तो इसके व्युत्पन्न को इनमें से प्रत्येक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के उत्पाद के रूप में पाया जाना चाहिए:

आपके कई होमवर्क असाइनमेंट के लिए आपको नई विंडो में ट्यूटोरियल खोलने की आवश्यकता हो सकती है। शक्तियों और जड़ों के साथ क्रियाएँऔर भिन्नों के साथ क्रियाएँ .

उदाहरण 4किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

हम एक जटिल फ़ंक्शन के भेदभाव के नियम को लागू करते हैं, यह नहीं भूलते कि डेरिवेटिव के परिणामी उत्पाद में, स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क एक्सबदलना मत:

हम उत्पाद का दूसरा कारक तैयार करते हैं और योग को अलग करने के लिए नियम लागू करते हैं:

दूसरा पद मूल है, इसलिए

इस प्रकार, यह प्राप्त हुआ कि मध्यवर्ती तर्क, जो कि योग है, में एक पद के रूप में एक जटिल कार्य शामिल है: घातांक एक जटिल कार्य है, और जो एक शक्ति तक बढ़ाया जाता है वह एक स्वतंत्र चर द्वारा एक मध्यवर्ती तर्क है एक्स.

इसलिए, हम फिर से एक जटिल फलन के विभेदन का नियम लागू करते हैं:

हम पहले कारक की डिग्री को मूल में बदलते हैं, और दूसरे कारक को अलग करते हुए, हम यह नहीं भूलते कि स्थिरांक का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है:

अब हम समस्या की स्थिति में आवश्यक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए आवश्यक मध्यवर्ती तर्क का व्युत्पन्न पा सकते हैं य:

उदाहरण 5किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

सबसे पहले, हम योग को अलग करने के नियम का उपयोग करते हैं:

दो जटिल फलनों के अवकलजों का योग प्राप्त करें। पहला खोजें:

यहां, साइन को घात तक बढ़ाना एक जटिल कार्य है, और साइन स्वयं स्वतंत्र चर में एक मध्यवर्ती तर्क है एक्स. इसलिए, हम एक जटिल फलन के विभेदीकरण के नियम का उपयोग करते हैं गुणक को कोष्ठक से बाहर निकालना :

अब हम उनमें से दूसरा पद ज्ञात करते हैं जो फलन का अवकलज बनाता है य:

यहां, कोसाइन को घात तक बढ़ाना एक जटिल कार्य है एफ, और कोसाइन स्वयं स्वतंत्र चर के संबंध में एक मध्यवर्ती तर्क है एक्स. फिर से, हम एक जटिल फलन के विभेदन के नियम का उपयोग करते हैं:

परिणाम आवश्यक व्युत्पन्न है:

कुछ जटिल कार्यों के व्युत्पन्नों की तालिका

जटिल कार्यों के लिए, एक जटिल कार्य के विभेदीकरण के नियम के आधार पर, एक सरल कार्य के व्युत्पन्न का सूत्र एक अलग रूप लेता है।

1. एक जटिल शक्ति फ़ंक्शन का व्युत्पन्न, जहां यू एक्स
2. अभिव्यक्ति के मूल की व्युत्पत्ति
3. घातांकीय फलन का व्युत्पन्न
4. घातांकीय फलन का विशेष मामला
5. एक मनमाना सकारात्मक आधार के साथ एक लघुगणकीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ए
6. एक जटिल लघुगणकीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न, जहां यूतर्क का एक भिन्न कार्य है एक्स
7. साइन व्युत्पन्न
8. कोसाइन व्युत्पन्न
9. स्पर्शरेखा व्युत्पन्न
10. कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
11. आर्क्साइन की व्युत्पत्ति
12. आर्क कोसाइन का व्युत्पन्न
13. चाप स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न
14. व्युत्क्रम स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न

व्युत्पन्न और इसकी गणना करने की विधियों के ज्ञान के बिना गणित में भौतिक समस्याओं या उदाहरणों को हल करना बिल्कुल असंभव है। व्युत्पन्न गणितीय विश्लेषण की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। हमने आज का लेख इस मूलभूत विषय पर समर्पित करने का निर्णय लिया। व्युत्पन्न क्या है, इसका भौतिक और ज्यामितीय अर्थ क्या है, किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना कैसे करें? इन सभी प्रश्नों को एक में जोड़ा जा सकता है: व्युत्पन्न को कैसे समझें?

व्युत्पन्न का ज्यामितीय और भौतिक अर्थ

एक समारोह हो जाये एफ(एक्स) , कुछ अंतराल में दिया गया (ए,बी) . बिंदु x और x0 इस अंतराल से संबंधित हैं। जब x बदलता है, तो फ़ंक्शन स्वयं बदल जाता है। तर्क परिवर्तन - उसके मूल्यों का अंतर x-x0 . यह अंतर इस प्रकार लिखा गया है डेल्टा एक्स और इसे तर्क वृद्धि कहा जाता है। किसी फ़ंक्शन का परिवर्तन या वृद्धि दो बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों के बीच का अंतर है। व्युत्पन्न परिभाषा:

किसी बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा है, जब तर्क शून्य हो जाता है।

अन्यथा इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

ऐसी सीमा खोजने का क्या मतलब है? पर कौनसा:

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न OX अक्ष और किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के बीच के कोण की स्पर्शरेखा के बराबर होता है।

व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ: पथ का समय व्युत्पन्न सरलरेखीय गति की गति के बराबर है।

दरअसल, स्कूल के दिनों से ही हर कोई जानता है कि गति एक निजी रास्ता है। x=f(t) और समय टी . औसत गतिकुछ समय के लिए:

एक समय में गति की गति ज्ञात करना टी0 आपको सीमा की गणना करने की आवश्यकता है:

नियम एक: स्थिरांक को हटा दें

स्थिरांक को व्युत्पन्न के चिह्न से निकाला जा सकता है। इसके अलावा, यह किया जाना चाहिए. गणित में उदाहरण हल करते समय, एक नियम के रूप में लें - यदि आप अभिव्यक्ति को सरल बना सकते हैं, तो सरल बनाना सुनिश्चित करें .

उदाहरण। आइए व्युत्पन्न की गणना करें:

नियम दो: कार्यों के योग का व्युत्पन्न

दो कार्यों के योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के व्युत्पन्नों के योग के बराबर होता है। कार्यों के अंतर के व्युत्पन्न के लिए भी यही सच है।

हम इस प्रमेय का प्रमाण नहीं देंगे, बल्कि एक व्यावहारिक उदाहरण पर विचार करेंगे।

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

नियम तीन: कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न

दो भिन्न कार्यों के उत्पाद के व्युत्पन्न की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

उदाहरण: किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

समाधान:

यहां जटिल कार्यों के व्युत्पन्नों की गणना के बारे में कहना महत्वपूर्ण है। एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क के व्युत्पन्न द्वारा मध्यवर्ती तर्क के संबंध में इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर है।

उपरोक्त उदाहरण में, हम अभिव्यक्ति का सामना करते हैं:

इस मामले में, मध्यवर्ती तर्क पाँचवीं घात से 8x है। ऐसी अभिव्यक्ति के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए, हम पहले मध्यवर्ती तर्क के संबंध में बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न पर विचार करते हैं, और फिर स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क के व्युत्पन्न से गुणा करते हैं।

नियम चार: दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न

दो कार्यों के भागफल के व्युत्पन्न को निर्धारित करने का सूत्र:

हमने शुरुआत से डमी के लिए डेरिवेटिव के बारे में बात करने की कोशिश की। यह विषय उतना सरल नहीं है जितना लगता है, इसलिए सावधान रहें: उदाहरणों में अक्सर खामियां होती हैं, इसलिए डेरिवेटिव की गणना करते समय सावधान रहें।

इस और अन्य विषयों पर किसी भी प्रश्न के लिए, आप छात्र सेवा से संपर्क कर सकते हैं। पीछे लघु अवधिहम आपको सबसे कठिन परीक्षा को हल करने और कार्यों से निपटने में मदद करेंगे, भले ही आपने पहले कभी डेरिवेटिव की गणना नहीं की हो।

"पुरानी" पाठ्यपुस्तकों में इसे "श्रृंखला" नियम भी कहा जाता है। तो यदि y = f (u), और u = φ (x), वह है

y = f (φ (x))

जटिल - यौगिक फलन (कार्यों की संरचना) तो

कहाँ , गणना के बाद पर विचार किया जाता है यू = φ (एक्स).

ध्यान दें कि यहां हमने समान कार्यों से "अलग-अलग" रचनाएं लीं, और भेदभाव का परिणाम स्वाभाविक रूप से "मिश्रण" के क्रम पर निर्भर हो गया।

श्रृंखला नियम स्वाभाविक रूप से तीन या अधिक कार्यों की संरचना तक विस्तारित होता है। इस मामले में, "श्रृंखला" में क्रमशः तीन या अधिक "लिंक" होंगे जो व्युत्पन्न बनाते हैं। यहाँ गुणन के साथ एक सादृश्य है: "हमारे पास है" - डेरिवेटिव की एक तालिका; "वहाँ" - गुणन तालिका; "हमारे साथ" एक श्रृंखला नियम है और "वहां" एक "कॉलम" के साथ गुणन नियम है। ऐसे "जटिल" डेरिवेटिव की गणना करते समय, निश्चित रूप से, कोई सहायक तर्क (यूवी, आदि) पेश नहीं किया जाता है, लेकिन, रचना में भाग लेने वाले कार्यों की संख्या और अनुक्रम को ध्यान में रखते हुए, वे संबंधित लिंक को "स्ट्रिंग" करते हैं। संकेतित क्रम.

. यहां, "y" का मान प्राप्त करने के लिए "x" के साथ पांच ऑपरेशन किए जाते हैं, यानी, पांच कार्यों की एक संरचना होती है: "बाहरी" (उनमें से अंतिम) - घातीय - ई ; फिर विपरीत क्रम में एक शक्ति नियम है। (♦) 2 ; त्रिकोणमितीय पाप (); शक्ति। ()3 और अंत में लघुगणक ln.(). इसीलिए

निम्नलिखित उदाहरण "एक पत्थर से पक्षियों के जोड़े को मार डालेंगे": हम जटिल कार्यों को अलग करने का अभ्यास करेंगे और प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न की तालिका को पूरक करेंगे। इसलिए:

4. एक पावर फ़ंक्शन के लिए - y \u003d x α - प्रसिद्ध "बुनियादी लघुगणकीय पहचान" का उपयोग करके इसे फिर से लिखना - b \u003d e ln b - x α \u003d x α ln x के रूप में हमें मिलता है

5. एक मनमाना घातांकीय फलन के लिए, उसी तकनीक का उपयोग करके, हमारे पास होगा

6. एक मनमाना लघुगणकीय फ़ंक्शन के लिए, एक नए आधार पर संक्रमण के लिए प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करके, हम क्रमिक रूप से प्राप्त करते हैं

.

7. स्पर्शरेखा (कोटेंजेंट) को अलग करने के लिए, हम भागफल को अलग करने के नियम का उपयोग करते हैं:

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्पन्न प्राप्त करने के लिए, हम उस संबंध का उपयोग करते हैं जो दो परस्पर व्युत्क्रम फलनों के व्युत्पन्नों से संतुष्ट होता है, अर्थात्, संबंधों से जुड़े फलन φ (x) और f (x):

यहाँ अनुपात है

परस्पर व्युत्क्रम फलनों के लिए यह इसी सूत्र से है

और
,

अंत में, हम इन्हें और कुछ अन्य, आसानी से प्राप्त होने वाले डेरिवेटिव को निम्नलिखित तालिका में सारांशित करेंगे।

इसे याद रखना बहुत आसान है.

खैर, हम ज्यादा दूर नहीं जाएंगे, हम तुरंत व्युत्क्रम फलन पर विचार करेंगे। घातांकीय फलन का व्युत्क्रम क्या है? लघुगणक:

हमारे मामले में, आधार एक संख्या है:

ऐसे लघुगणक (अर्थात, आधार वाला लघुगणक) को "प्राकृतिक" कहा जाता है, और हम इसके लिए एक विशेष संकेतन का उपयोग करते हैं: हम इसके बजाय लिखते हैं।

किसके बराबर है? बिल्कुल, ।

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न भी बहुत सरल है:

उदाहरण:

1. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।
2. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न क्या है?

उत्तर: घातांक और प्राकृतिक लघुगणक ऐसे कार्य हैं जो व्युत्पन्न के संदर्भ में विशिष्ट रूप से सरल हैं। किसी भी अन्य आधार के साथ घातांकीय और लघुगणकीय कार्यों का एक अलग व्युत्पन्न होगा, जिसका विश्लेषण हम विभेदन के नियमों से गुजरने के बाद बाद में करेंगे।

विभेदन नियम

क्या नियम? एक और नया शब्द, फिर से?!...

भेदभावव्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया है.

केवल और सब कुछ. इस प्रक्रिया के लिए दूसरा शब्द क्या है? प्रोइज़्वोडनोवानी नहीं... गणित के अंतर को फ़ंक्शन की वृद्धि कहा जाता है। यह शब्द लैटिन के डिफरेंशिया - अंतर से आया है। यहाँ।

इन सभी नियमों को प्राप्त करते समय, हम दो फ़ंक्शन का उपयोग करेंगे, उदाहरण के लिए, और। हमें उनकी वेतन वृद्धि के लिए सूत्रों की भी आवश्यकता होगी:

कुल मिलाकर 5 नियम हैं.

स्थिरांक को व्युत्पन्न के चिह्न से हटा दिया जाता है।

यदि - कोई अचर संख्या (स्थिर), तो.

जाहिर है, यह नियम अंतर के लिए भी काम करता है:।

आइए इसे साबित करें. चलो, या आसान।

उदाहरण।

कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:

1. बिंदु पर;
2. बिंदु पर;
3. बिंदु पर;
4. बिंदु पर।

समाधान:

1. (व्युत्पन्न सभी बिंदुओं पर समान है, क्योंकि यह एक रैखिक कार्य है, याद रखें?);

किसी उत्पाद का व्युत्पन्न

यहां सब कुछ समान है: हम एक नया फ़ंक्शन पेश करते हैं और इसकी वृद्धि पाते हैं:

व्युत्पन्न:

उदाहरण:

1. कार्यों के व्युत्पन्न खोजें और;
2. किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ज्ञात करें।

समाधान:

घातीय फलन का व्युत्पन्न

अब आपका ज्ञान यह सीखने के लिए पर्याप्त है कि किसी भी घातीय फलन का व्युत्पन्न कैसे खोजा जाए, न कि केवल घातांक का (क्या आप अभी तक भूल गए हैं कि यह क्या है?)।

तो कुछ नंबर कहां है.

हम पहले से ही फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को जानते हैं, तो आइए अपने फ़ंक्शन को एक नए आधार पर लाने का प्रयास करें:

ऐसा करने के लिए, हम एक सरल नियम का उपयोग करते हैं:। तब:

ख़ैर, यह काम कर गया। अब व्युत्पन्न खोजने का प्रयास करें, और यह न भूलें कि यह फ़ंक्शन जटिल है।

घटित?

यहां, स्वयं जांचें:

सूत्र घातांक के व्युत्पन्न के समान निकला: जैसा था, वैसा ही रहा, केवल एक कारक दिखाई दिया, जो केवल एक संख्या है, लेकिन चर नहीं।

उदाहरण:
कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:

उत्तर:

यह मात्र एक संख्या है जिसकी गणना बिना कैलकुलेटर के नहीं की जा सकती अर्थात इसे सरल रूप में नहीं लिखा जा सकता। अत: उत्तर में इसे इसी रूप में छोड़ दिया गया है।

ध्यान दें कि यहां दो कार्यों का भागफल है, इसलिए हम उचित विभेदन नियम लागू करते हैं:

इस उदाहरण में, दो कार्यों का उत्पाद:

लघुगणकीय फलन का व्युत्पन्न

यहाँ यह समान है: आप पहले से ही प्राकृतिक लघुगणक के व्युत्पन्न को जानते हैं:

इसलिए, एक अलग आधार के साथ लघुगणक से एक मनमाना खोजने के लिए, उदाहरण के लिए:

हमें इस लघुगणक को आधार पर लाना होगा। आप लघुगणक का आधार कैसे बदलते हैं? मुझे आशा है कि आपको यह सूत्र याद होगा:

केवल अब इसके स्थान पर हम लिखेंगे:

हर केवल एक अचर (एक अचर संख्या, बिना किसी चर के) निकला। व्युत्पन्न बहुत सरल है:

घातीय और लघुगणकीय कार्यों के व्युत्पन्न परीक्षा में लगभग कभी नहीं पाए जाते हैं, लेकिन उन्हें जानना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा।

एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न.

"जटिल कार्य" क्या है? नहीं, यह लघुगणक नहीं है, और चाप स्पर्शरेखा नहीं है। इन कार्यों को समझना कठिन हो सकता है (हालाँकि यदि लघुगणक आपको कठिन लगता है, तो "लघुगणक" विषय पढ़ें और सब कुछ ठीक हो जाएगा), लेकिन गणित के संदर्भ में, "जटिल" शब्द का अर्थ "कठिन" नहीं है।

एक छोटे कन्वेयर की कल्पना करें: दो लोग बैठे हैं और कुछ वस्तुओं के साथ कुछ क्रियाएं कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, पहला चॉकलेट बार को रैपर में लपेटता है, और दूसरा उसे रिबन से बांधता है। यह ऐसी समग्र वस्तु निकलती है: एक चॉकलेट बार लपेटा हुआ और रिबन से बंधा हुआ। चॉकलेट बार खाने के लिए, आपको विपरीत चरणों को उल्टे क्रम में करना होगा।

आइए एक समान गणितीय पाइपलाइन बनाएं: पहले हम किसी संख्या की कोज्या ज्ञात करेंगे, और फिर हम परिणामी संख्या का वर्ग करेंगे। तो, वे हमें एक नंबर (चॉकलेट) देते हैं, मैं उसका कोसाइन (रैपर) ढूंढता हूं, और फिर जो मुझे मिला उसे आप वर्गित कर देते हैं (इसे रिबन से बांध देते हैं)। क्या हुआ? समारोह। यह एक जटिल फ़ंक्शन का एक उदाहरण है: जब, इसका मान ज्ञात करने के लिए, हम पहली क्रिया सीधे वेरिएबल के साथ करते हैं, और फिर दूसरी दूसरी क्रिया जो पहले के परिणामस्वरूप हुई उसके साथ करते हैं।

दूसरे शब्दों में, एक जटिल फ़ंक्शन एक ऐसा फ़ंक्शन होता है जिसका तर्क एक अन्य फ़ंक्शन होता है: .

हमारे उदाहरण के लिए, .

हम समान क्रियाओं को उल्टे क्रम में भी कर सकते हैं: पहले आप वर्ग बनाते हैं, और फिर मैं परिणामी संख्या की कोज्या ढूंढता हूं:। यह अनुमान लगाना आसान है कि परिणाम लगभग हमेशा अलग होगा। जटिल कार्यों की एक महत्वपूर्ण विशेषता: जब क्रियाओं का क्रम बदलता है, तो फ़ंक्शन भी बदल जाता है।

दूसरा उदाहरण: (वही)। .

हम जो अंतिम क्रिया करेंगे उसे कहा जाएगा "बाहरी" फ़ंक्शन, और क्रिया क्रमशः पहले की गई "आंतरिक" कार्य(ये अनौपचारिक नाम हैं, मैं इनका उपयोग केवल सामग्री को सरल भाषा में समझाने के लिए करता हूँ)।

स्वयं यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन सा कार्य बाहरी है और कौन सा आंतरिक है:

उत्तर:आंतरिक और बाहरी कार्यों का पृथक्करण चर बदलने के समान है: उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन में

1. हम पहले क्या कार्रवाई करेंगे? पहले हम ज्या की गणना करते हैं, और उसके बाद ही हम इसे घन तक बढ़ाते हैं। तो यह एक आंतरिक कार्य है, बाहरी नहीं।
   और मूल कार्य उनकी रचना है: .
2. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।
3. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।
4. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।
5. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।

हम वेरिएबल बदलते हैं और एक फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं।

खैर, अब हम अपनी चॉकलेट निकालेंगे - व्युत्पन्न की तलाश करें। प्रक्रिया हमेशा उलटी होती है: पहले हम बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तलाश करते हैं, फिर हम परिणाम को आंतरिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से गुणा करते हैं। मूल उदाहरण के लिए, यह इस तरह दिखता है:

एक और उदाहरण:

तो, आइए अंततः आधिकारिक नियम बनाएं:

किसी जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए एल्गोरिदम:

यह सरल प्रतीत होता है, है ना?

आइए उदाहरणों से जांचें:

समाधान:

1) आंतरिक: ;

बाहरी: ;

2) आंतरिक: ;

(अभी तक कम करने की कोशिश मत करो! कोसाइन के नीचे से कुछ भी नहीं निकाला गया है, याद है?)

3) आंतरिक: ;

बाहरी: ;

यह तुरंत स्पष्ट है कि यहां एक तीन-स्तरीय जटिल कार्य है: आखिरकार, यह पहले से ही अपने आप में एक जटिल कार्य है, और हम अभी भी इसमें से जड़ निकालते हैं, अर्थात, हम तीसरी क्रिया करते हैं (चॉकलेट को एक आवरण में रखें) और ब्रीफ़केस में एक रिबन के साथ)। लेकिन डरने का कोई कारण नहीं है: वैसे भी, हम इस फ़ंक्शन को हमेशा की तरह उसी क्रम में "अनपैक" करेंगे: अंत से।

अर्थात्, पहले हम मूल में अंतर करते हैं, फिर कोज्या में, और उसके बाद ही कोष्ठक में व्यंजक में। और फिर हम इसे सब गुणा करते हैं।

ऐसे मामलों में, कार्यों को क्रमांकित करना सुविधाजनक होता है। अर्थात्, आइए कल्पना करें कि हम क्या जानते हैं। इस अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने के लिए हम किस क्रम में क्रियाएं करेंगे? आइए एक उदाहरण देखें:

कार्रवाई जितनी देर से की जाएगी, संबंधित कार्य उतना ही अधिक "बाहरी" होगा। क्रियाओं का क्रम - पहले जैसा:

यहां घोंसला बनाना आम तौर पर 4-स्तरीय होता है। आइये कार्रवाई की दिशा तय करें.

1. उग्र अभिव्यक्ति. .

2. जड़. .

3. साइनस. .

4. चौकोर. .

5. यह सब एक साथ रखना:

व्युत्पन्न. संक्षेप में मुख्य के बारे में

फ़ंक्शन व्युत्पन्न- तर्क की अतिसूक्ष्म वृद्धि के साथ फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि का अनुपात:

मूल व्युत्पन्न:

विभेदन नियम:

स्थिरांक को व्युत्पन्न के चिह्न से हटा दिया जाता है:

योग का व्युत्पन्न:

व्युत्पन्न उत्पाद:

भागफल का व्युत्पन्न:

एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न:

किसी जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए एल्गोरिदम:

1. हम "आंतरिक" फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं, इसका व्युत्पन्न ढूंढते हैं।
2. हम "बाहरी" फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं, इसका व्युत्पन्न ढूंढते हैं।
3. हम पहले और दूसरे बिंदु के परिणामों को गुणा करते हैं।

जिस पर हमने सबसे सरल व्युत्पन्नों का विश्लेषण किया, और विभेदीकरण के नियमों और व्युत्पन्न खोजने की कुछ तकनीकों से भी परिचित हुए। इस प्रकार, यदि आप फ़ंक्शंस के डेरिवेटिव के साथ बहुत अच्छे नहीं हैं या इस लेख के कुछ बिंदु पूरी तरह से स्पष्ट नहीं हैं, तो पहले उपरोक्त पाठ पढ़ें। कृपया गंभीर मूड में रहें - सामग्री आसान नहीं है, लेकिन फिर भी मैं इसे सरल और स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करने का प्रयास करूंगा।

व्यवहार में, आपको अक्सर एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से निपटना पड़ता है, मैं लगभग हमेशा ही कहूंगा, जब आपको व्युत्पन्न खोजने के लिए कार्य दिए जाते हैं।

हम एक जटिल फ़ंक्शन को अलग करने के लिए नियम (संख्या 5) को तालिका में देखते हैं:

हम समझते है। सबसे पहले, आइए नोटेशन पर एक नज़र डालें। यहां हमारे पास दो फ़ंक्शन हैं - और, और फ़ंक्शन, लाक्षणिक रूप से बोलते हुए, फ़ंक्शन में निहित है। इस प्रकार का एक फ़ंक्शन (जब एक फ़ंक्शन दूसरे में निहित होता है) को जटिल फ़ंक्शन कहा जाता है।

मैं फ़ंक्शन को कॉल करूंगा बाह्य कार्य, और फ़ंक्शन - आंतरिक (या नेस्टेड) ​​फ़ंक्शन.

! ये परिभाषाएँ सैद्धांतिक नहीं हैं और इन्हें असाइनमेंट के अंतिम डिज़ाइन में प्रदर्शित नहीं किया जाना चाहिए। मैं अनौपचारिक अभिव्यक्तियों "बाहरी फ़ंक्शन", "आंतरिक" फ़ंक्शन का उपयोग केवल आपके लिए सामग्री को समझना आसान बनाने के लिए करता हूं।

स्थिति स्पष्ट करने के लिए, विचार करें:

उदाहरण 1

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

साइन के अंतर्गत, हमारे पास केवल अक्षर "x" नहीं है, बल्कि संपूर्ण अभिव्यक्ति है, इसलिए तालिका से तुरंत व्युत्पन्न ढूँढना काम नहीं करेगा। हमने यह भी देखा कि पहले चार नियमों को यहां लागू करना असंभव है, इसमें अंतर प्रतीत होता है, लेकिन तथ्य यह है कि साइन को "फाड़ना" असंभव है:

इस उदाहरण में, पहले से ही मेरे स्पष्टीकरण से, यह सहज रूप से स्पष्ट है कि फ़ंक्शन एक जटिल फ़ंक्शन है, और बहुपद एक आंतरिक फ़ंक्शन (एम्बेडिंग), और एक बाहरी फ़ंक्शन है।

पहला कदम, जिसे किसी जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूंढते समय निष्पादित किया जाना चाहिए समझें कि कौन सा कार्य आंतरिक है और कौन सा बाह्य है.

सरल उदाहरणों के मामले में, यह स्पष्ट प्रतीत होता है कि एक बहुपद ज्या के नीचे निहित है। लेकिन क्या होगा अगर यह स्पष्ट नहीं है? यह कैसे निर्धारित करें कि कौन सा कार्य बाहरी है और कौन सा आंतरिक है? ऐसा करने के लिए, मैं निम्नलिखित तकनीक का उपयोग करने का प्रस्ताव करता हूं, जिसे मानसिक रूप से या ड्राफ्ट पर किया जा सकता है।

आइए कल्पना करें कि हमें एक कैलकुलेटर के साथ अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है (एक के बजाय, कोई भी संख्या हो सकती है)।

हम पहले क्या गणना करते हैं? सबसे पहलेआपको निम्नलिखित क्रिया करने की आवश्यकता होगी: , इसलिए बहुपद एक आंतरिक कार्य होगा:

दूसरेआपको खोजने की आवश्यकता होगी, इसलिए साइन - एक बाहरी फ़ंक्शन होगा:

हमारे बाद समझनाआंतरिक और बाहरी कार्यों के साथ, यौगिक फ़ंक्शन विभेदन नियम को लागू करने का समय आ गया है .

हम निर्णय लेना शुरू करते हैं. पाठ से व्युत्पन्न कैसे खोजें?हमें याद है कि किसी भी व्युत्पन्न के समाधान का डिज़ाइन हमेशा इस तरह से शुरू होता है - हम अभिव्यक्ति को कोष्ठक में संलग्न करते हैं और शीर्ष दाईं ओर एक स्ट्रोक लगाते हैं:

सर्वप्रथमहम बाहरी फलन (साइन) का व्युत्पन्न पाते हैं, प्राथमिक फलन के व्युत्पन्न की तालिका को देखते हैं और ध्यान देते हैं कि। सभी सारणीबद्ध सूत्र लागू होते हैं, भले ही "x" को एक जटिल अभिव्यक्ति से बदल दिया जाए, इस मामले में:

ध्यान दें कि आंतरिक कार्य नहीं बदला है, हम इसे नहीं छूते.

खैर, यह बिल्कुल स्पष्ट है कि

सूत्र को लागू करने का परिणाम साफ़ इस तरह दिखता है:

स्थिरांक कारक आमतौर पर अभिव्यक्ति की शुरुआत में रखा जाता है:

यदि कोई गलतफहमी हो तो निर्णय को कागज पर लिखें और स्पष्टीकरण दोबारा पढ़ें।

उदाहरण 2

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

उदाहरण 3

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

हमेशा की तरह, हम लिखते हैं:

हम यह पता लगाते हैं कि हमारा बाहरी कार्य कहां है और आंतरिक कार्य कहां है। ऐसा करने के लिए, हम अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने के लिए (मानसिक रूप से या ड्राफ्ट पर) प्रयास करते हैं। पहले क्या करने की जरूरत है? सबसे पहले, आपको यह गणना करने की आवश्यकता है कि आधार किसके बराबर है:, जिसका अर्थ है कि बहुपद आंतरिक कार्य है:

और, केवल तभी घातांक निष्पादित किया जाता है, इसलिए, पावर फ़ंक्शन एक बाहरी फ़ंक्शन है:

सूत्र के अनुसार , सबसे पहले आपको बाहरी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूंढना होगा, इस मामले में, डिग्री। हम तालिका में वांछित सूत्र की तलाश कर रहे हैं:। हम फिर दोहराते हैं: कोई भी सारणीबद्ध सूत्र न केवल "x" के लिए, बल्कि एक जटिल अभिव्यक्ति के लिए भी मान्य है. इस प्रकार, एक जटिल फ़ंक्शन के विभेदन के नियम को लागू करने का परिणाम अगला:

मैं फिर से इस बात पर जोर देता हूं कि जब हम बाहरी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लेते हैं, तो आंतरिक फ़ंक्शन नहीं बदलता है:

अब यह आंतरिक फ़ंक्शन का एक बहुत ही सरल व्युत्पन्न ढूंढना और परिणाम को थोड़ा "कंघी" करना बाकी है:

उदाहरण 4

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यह स्व-समाधान के लिए एक उदाहरण है (पाठ के अंत में उत्तर दें)।

एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की समझ को मजबूत करने के लिए, मैं बिना किसी टिप्पणी के एक उदाहरण दूंगा, इसे स्वयं समझने का प्रयास करें, कारण बताएं कि बाहरी कहां है और आंतरिक फ़ंक्शन कहां है, कार्यों को इस तरह क्यों हल किया जाता है?

उदाहरण 5

ए) किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

बी) फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

उदाहरण 6

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यहां हमारे पास एक जड़ है, और जड़ को अलग करने के लिए, इसे एक डिग्री के रूप में दर्शाया जाना चाहिए। इस प्रकार, हम पहले फ़ंक्शन को विभेदन के लिए उचित रूप में लाते हैं:

फ़ंक्शन का विश्लेषण करते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि तीन पदों का योग एक आंतरिक फ़ंक्शन है, और घातांक एक बाहरी फ़ंक्शन है। हम एक जटिल फलन के विभेदन का नियम लागू करते हैं :

डिग्री को फिर से एक रेडिकल (रूट) के रूप में दर्शाया जाता है, और आंतरिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए, हम योग को अलग करने के लिए एक सरल नियम लागू करते हैं:

तैयार। आप व्यंजक को कोष्ठक में एक सामान्य हर में भी ला सकते हैं और सभी चीज़ों को एक भिन्न के रूप में लिख सकते हैं। बेशक, यह सुंदर है, लेकिन जब बोझिल लंबे डेरिवेटिव प्राप्त होते हैं, तो ऐसा न करना बेहतर है (भ्रमित होना आसान है, अनावश्यक गलती करना, और शिक्षक के लिए इसे जांचना असुविधाजनक होगा)।

उदाहरण 7

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यह स्व-समाधान के लिए एक उदाहरण है (पाठ के अंत में उत्तर दें)।

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि कभी-कभी, किसी जटिल फ़ंक्शन को अलग करने के नियम के बजाय, कोई भागफल को अलग करने के लिए नियम का उपयोग कर सकता है , लेकिन ऐसा समाधान असामान्य विकृति जैसा लगेगा। यहाँ एक विशिष्ट उदाहरण है:

उदाहरण 8

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यहां आप भागफल के विभेदन के नियम का उपयोग कर सकते हैं , लेकिन किसी जटिल फलन के विभेदन के नियम के माध्यम से व्युत्पन्न ज्ञात करना कहीं अधिक लाभदायक है:

हम विभेदन के लिए फ़ंक्शन तैयार करते हैं - हम व्युत्पन्न का ऋण चिह्न निकालते हैं, और कोसाइन को अंश तक बढ़ाते हैं:

कोसाइन एक आंतरिक कार्य है, घातांक एक बाहरी कार्य है।
आइए अपने नियम का उपयोग करें :

हम आंतरिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूंढते हैं, कोसाइन को वापस नीचे रीसेट करते हैं:

तैयार। विचारित उदाहरण में, यह महत्वपूर्ण है कि संकेतों में भ्रमित न हों। वैसे इसे नियम से सुलझाने की कोशिश करें , उत्तर मेल खाने चाहिए।

उदाहरण 9

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यह स्व-समाधान के लिए एक उदाहरण है (पाठ के अंत में उत्तर दें)।

अब तक, हमने ऐसे मामलों पर विचार किया है जहां हमारे पास एक जटिल फ़ंक्शन में केवल एक नेस्टिंग थी। व्यावहारिक कार्यों में, आप अक्सर डेरिवेटिव पा सकते हैं, जहां घोंसले बनाने वाली गुड़िया की तरह, एक दूसरे के अंदर 3 या यहां तक ​​कि 4-5 फ़ंक्शन एक साथ निहित होते हैं।

उदाहरण 10

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

हम इस फ़ंक्शन के अनुलग्नकों को समझते हैं. हम प्रयोगात्मक मान का उपयोग करके अभिव्यक्ति का मूल्यांकन करने का प्रयास करते हैं। हम कैलकुलेटर पर कैसे भरोसा करेंगे?

सबसे पहले आपको खोजने की जरूरत है, जिसका अर्थ है कि आर्क्साइन सबसे गहरा घोंसला है:

एकता की इस धुरी को तब चुकता किया जाना चाहिए:

और अंत में, हम सात को घात तक बढ़ाते हैं:

अर्थात्, इस उदाहरण में हमारे पास तीन अलग-अलग फ़ंक्शन और दो नेस्टिंग्स हैं, जबकि सबसे भीतरी फ़ंक्शन आर्कसाइन है, और सबसे बाहरी फ़ंक्शन घातीय फ़ंक्शन है।

हम निर्णय लेना शुरू करते हैं

नियम के अनुसार सबसे पहले आपको बाहरी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लेने की आवश्यकता है। हम डेरिवेटिव की तालिका को देखते हैं और घातीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को ढूंढते हैं: एकमात्र अंतर यह है कि "x" के बजाय हमारे पास एक जटिल अभिव्यक्ति है, जो इस सूत्र की वैधता को अस्वीकार नहीं करती है। तो, एक जटिल फ़ंक्शन के विभेदन के नियम को लागू करने का परिणाम अगला।